Задайте элементы множества через набор символов, либо укажите количество повторений для каждой группы элементов.
Выберите способ задания множества
Выберите количество групп элементов
Показать ход решения
Результат
$$P_{6}(3,\,2,\,1) = 60$$
Решение
Набор элементов: АНАНАС
Шаг 1. Для нахождения числа перестановок с повторениями используется формула отношения факториала общего количества элементов к произведению факториалов количества элементов в каждой группе:
$$P_n(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$$
Шаг 2. Подставим ваши значение общего числа элементов $n = 6$ и составы групп в формулу:
$$P_{6}(3,\,2,\,1) = \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!}$$
Шаг 3. Разложим факториалы на множители. Напомним, что факториал числа — это произведение всех натуральных чисел от 1 до самого числа включительно:
$$P_{6}(3,\,2,\,1) = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (1 \cdot 2) \cdot 1}$$
Шаг 4. Подсчитаем итоговый результат.
В результате вычисления всех факториалов и деления получаем полное число возможных перестановок:
$$P_{6}(3,\,2,\,1) = 60$$
Список всех возможных вариантов (анаграмм):
- АААННС
- АААНСН
- АААСНН
- ААНАНС
- ААНАСН
- ААННАС
- ААННСА
- ААНСАН
- ААНСНА
- ААСАНН
- ААСНАН
- ААСННА
- АНААНС
- АНААСН
- АНАНАС
- АНАНСА
- АНАСАН
- АНАСНА
- АННААС
- АННАСА
- АННСАА
- АНСААН
- АНСАНА
- АНСНАА
- АСААНН
- АСАНАН
- АСАННА
- АСНААН
- АСНАНА
- АСННАА
- НАААНС
- НАААСН
- НААНАС
- НААНСА
- НААСАН
- НААСНА
- НАНААС
- НАНАСА
- НАНСАА
- НАСААН
- НАСАНА
- НАСНАА
- ННАААС
- ННААСА
- ННАСАА
- ННСААА
- НСАААН
- НСААНА
- НСАНАА
- НСНААА
- САААНН
- СААНАН
- СААННА
- САНААН
- САНАНА
- САННАА
- СНАААН
- СНААНА
- СНАНАА
- СННААА
О калькуляторе
Этот онлайн-калькулятор находит число перестановок с повторениями для множеств, содержащих группы одинаковых (тождественных) элементов.
Для расчетов используется классическая комбинаторная формула $$P_n(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$$. Сервис поддерживает два режима задания множества: автоматический подсчет повторяющихся знаков в любой введенной строке или ручной ввод размеров отдельных групп элементов с максимальной общей границей вплоть до $$10^{50}$$.
Результат вычислений выводится в зависимости от масштаба полученного числа в виде точного полного значения с поразрядными пробелами или переводится в компактную научную запись. Калькулятор формирует подробное пошаговое решение с выводом промежуточных разложений факториалов, а для небольших текстовых наборов автоматически генерирует и сортирует по алфавиту полный список всех возможных вариантов.
Например, у вас есть конкретное слово или набор символов. Переключите калькулятор в первый режим и введите вашу последовательность без пробелов (например, слово КОЛОБОК, набор цифр 95412 или комбинацию знаков ++--***). Калькулятор сам определит длину строки, сгруппирует одинаковые символы, вычислит количество возможных перестановок и покажет их полный список внизу страницы.
Если в условии задачи дано количество элементов в группах. Допустим, вам заранее известны только объемы групп (например, нужно распределить по местам 5 белых, 3 синих и 2 красных шара), выберите второй режим, укажите количество групп и введите числа в появившиеся поля. Калькулятор сразу найдет общую сумму элементов и рассчитает количество вариантов по формуле.
Теория: Перестановки с повторениями
В комбинаторике часто возникает необходимость определить число способов расположения элементов в ряд, когда среди них присутствуют одинаковые объекты. Такие задачи приводят к понятию перестановок с повторениями.
- Перестановкой с повторениями называется упорядоченное множество, сформированное из всех элементов заданного исходного набора, в котором некоторые элементы являются тождественными (неразличимыми между собой).
Если в перестановках без повторений каждый элемент уникален, то здесь исходное множество разделено на группы взаимно тождественных элементов. Взаимная перемена мест внутри такой группы не приводит к появлению нового варианта. Например, если поменять местами две одинаковые черные ручки на столе, общий вид ряда и структура расположения элементов останутся неизменными. По этой причине общее число вариантов перестановок уменьшается пропорционально количеству повторений.
Вывод формулы на основе правила умножения
Пусть дано множество из $n$ элементов, среди которых есть $n_1$ элементов первого типа, $n_2$ элементов второго типа, и так далее, вплоть до $n_k$ элементов $k$-го типа. При этом общая сумма всех элементов равна $n$ ($n_1 + n_2 + \dots + n_k = n$).
Если бы все элементы были различными, то число способов расположения равнялось бы обыкновенному факториалу $n!$. Однако элементы внутри каждой группы можно переставлять между собой без изменения общего результата задачи. Для первой группы тождественных элементов существует $n_1!$ таких неотличимых расстановок, для второй — $n_2!$, для последней — $n_k!$.
Используя комбинаторное правило умножения, мы получаем, что общее число неотличимых вариантов равно произведению факториалов каждой группы элементов. Чтобы найти количество уникальных перестановок, необходимо разделить общее число теоретических вариантов на число их внутренних повторений. Искомое значение обозначают символом $P_n(n_1, n_2, \dots, n_k)$:
$$P_n(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$$
Поскольку результатом вычислений является количество возможных способов расположения элементов, числитель полученной дроби всегда делится на знаменатель нацело, а итоговый результат вычислений всегда представляет собой целое число.
Пример решения комбинаторной задачи
Рассмотрим классическую задачу на составление анаграмм: требуется определить, сколько различных буквенных комбинаций можно составить из букв слова МАМА.
Проанализируем состав исходного множества элементов:
- Общее количество букв в слове: $n = 4$.
- Буква М повторяется 2 раза ($n_1 = 2$).
- Буква А повторяется 2 раза ($n_2 = 2$).
Подставим эти значения в формулу перестановок с повторениями:
$$P_4(2, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2)} = \frac{24}{4} = 6$$
Расчет показывает, что из данного набора букв можно составить ровно 6 уникальных вариантов слов. Полный список всех возможных анаграмм, отсортированных по алфавиту, выглядит следующим образом:
- ААММ
- АМАМ
- АММА
- МААМ
- МАМА
- ММАA
С увеличением общего количества элементов в исходном наборе или числа тождественных объектов внутри групп, количество вариантов расстановки изменяется строго в соответствии с ростом факториальной функции, что позволяет легко анализировать даже сверхкрупные множества элементов.