Ответ
$$\left(5\frac{12}{34}\right)^{\dfrac{7}{9}} = \left(\frac{182}{34}\right)^{\dfrac{7}{9}} = \left(\frac{91}{17}\right)^{\dfrac{7}{9}} = \dfrac{\sqrt[9]{91^7}}{\sqrt[9]{17^7}} = 3.68708400882452$$
Решение
Упростим дробь
$$5\frac{12}{34} = \frac{(5 \cdot 34) + 12}{34} = \frac{182}{34} = \frac{182 \,\colon \textcolor{green}{2}}{34 \,\colon \textcolor{green}{2}} = \frac{91}{17}$$
Для того чтобы возвести дробь в степень с дробным показателем необходимо числитель и знаменатель дроби представить в виде подкоренного числа, возведенного в степень равную числителю степени и в качестве показателя корня записать знаменатель степени.
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\dfrac{m}{n}} = \dfrac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{b^m}}$$
$$\left(\dfrac{91}{17}\right)^{\dfrac{7}{9}} = \dfrac{\sqrt[9]{91^7}}{\sqrt[9]{17^7}} = \dfrac{33.3963389883089}{9.05765610666298} = 3.68708400882452$$
Правила возведения дроби в степень