Что такое восьмеричная система счисления
-
Восьмеричная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в восьмеричной системе счисления используется восемь цифр $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ и $7$.
Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $7231_{8}$ или $4556_{8}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в восьмеричную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в восьмеричную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $8$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $369_{10}$ в восьмеричную систему счисления:
$369 : 8 = 46$, остаток: $1$
$46 : 8 = 5$, остаток: $6$
$5 : 8 = 0$, остаток: $5$
$369_{10} = 561_{8}$
Как перевести десятичную дробь в восьмеричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в восьмеричную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в восьмеричную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $8$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $0.2_{10}$ в восьмеричную систему счисления:
Переведем целую часть:
$0_{10} = 0_{8}$
Переведем дробную часть:
$0.2 \cdot 8 = 1.6$
$0.6 \cdot 8 = 4.8$
$0.8 \cdot 8 = 6.4$
$0.4 \cdot 8 = 3.2$
$0.2 \cdot 8 = 1.6$
$0.6 \cdot 8 = 4.8$
$0.8 \cdot 8 = 6.4$
$0.4 \cdot 8 = 3.2$
$0.2 \cdot 8 = 1.6$
$0.6 \cdot 8 = 4.8$
$0.2_{10} = 0.1463146314_{8}$
Восьмеричные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной восьмеричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая восьмеричная дробь, поэтому умножение на $8$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $0.2$ не может быть точно представлена в восьмеричной системе счисления.
К примеру, дробь $1.5_{10}$ может быть представлена в восьмеричной системе счисления в виде конечной: $1.5_{10} = 1.4_{8}$.
Как перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $8$, так как система счисления 8-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $8$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $75310_{8}$ в десятичную систему счисления:
$$\overset{4}{7}\overset{3}{5}\overset{2}{3}\overset{1}{1}\overset{0}{0}_8 = 7 \cdot 8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 3 \cdot 8^{2} + 1 \cdot 8^{1} + 0 \cdot 8^{0} = 31432_{10}$$
Как перевести дробное восьмеричное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное восьмеричное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное восьмеричное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $8$, так как система счисления 8-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $8$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное восьмеричное число $12.36$ в десятичную систему:
$$\overset{1}{1}\overset{0}{2}.\overset{-1}{3}\overset{-2}{6}_8 = 1 \cdot 8^{1} + 2 \cdot 8^{0} + 3 \cdot 8^{-1} + 6 \cdot 8^{-2} = 10.46875_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в восьмеричной системе счисления