Калькулятор арифметической прогрессии

Заполните появившиеся поля для расчета выбранного параметра прогрессии. Разрешено вводить: целые числа, десятичные дроби (через точку), математические константы pi, функции sqrt(...) и знаки операций (+, -, *, /, ^).

Что вы хотите вычислить?

Известный член прогрессии $a_m$

Номер известного члена прогрессии $m$

Номер искомого члена прогрессии $n$

Шаг (разность) прогрессии $d$

Отобразить 10 членов арифметической прогрессии начиная с номера:

Показать ход решения

Математическая формула

Член арифметической прогрессии $$a_n$$ с номером $$n$$ вычисляется по формуле:

$$a_n = a_m - (m - n) \cdot d$$

Подстановка значений в формулу

$$ a_{9}=\frac{7}{2}-\left(6-9\right)\cdot\left(\frac{3}{5}\right)$$

Дробное значение

$$a_{9} = \frac{53}{10}$$

Численное значение

$$a_{9} = 5.3$$

Показать члены прогрессии

$$a_{1} = \frac{1}{2}$$

$$a_{2} = \frac{11}{10}$$

$$a_{3} = \frac{17}{10}$$

$$a_{4} = \frac{23}{10}$$

$$a_{5} = \frac{29}{10}$$

$$a_{6} = \frac{7}{2}$$

$$a_{7} = \frac{41}{10}$$

$$a_{8} = \frac{47}{10}$$

$$a_{9} = \frac{53}{10}$$

$$a_{10} = \frac{59}{10}$$

О калькуляторе

Калькулятор предназначен для нахождения членов, разности и сумм арифметической прогрессии, а также для построения числовой последовательности по заданным исходным данным.

Он не просто выдает готовый ответ, а выводит подробное пошаговое решение. Вы можете вводить целые числа, десятичные дроби (через точку), корни или константы — система выполнит расчеты, а если в итоге получится нецелое число, автоматически покажет его в виде сокращенной правильной дроби.

Что умеет делать калькулятор:

Находить член прогрессии с номером n: вычислит значение любого нужного элемента, если известны другой член последовательности, его номер и шаг.
Считать сумму от n-го до m-го члена: найдет сумму чисел на указанном отрезке прогрессии на основе двух любых известных членов.
Находить сумму первых n членов: выполнит классическое сложение всех элементов последовательности, начиная с самого первого.
Определять шаг (разность) прогрессии: вычислит разность между соседними элементами по двум произвольным членам и их номерам.
Строить арифметическую прогрессию: сгенерирует и выведет на экран числовой ряд из 10 элементов по заданным параметрам.

Правила ввода и настройки калькулятора:

Разрешенные символы: калькулятор принимает целые числа, десятичные дроби (через точку, например: 1.5), математическую константу pi, функцию квадратного корня sqrt(...) и знаки операций (+, -, *, /, ^). Буквенные выражения не поддерживаются. Под знаком корня разрешено использовать отрицательные числа.
Вывод числового ряда: при построении прогрессии система всегда выводит ровно 10 элементов. Ряд начинает строиться с того порядкового номера, который вы укажете в поле ввода.
Формат отображения ряда: в настройках можно выбрать, в каком виде отображать эти 10 членов прогрессии — в виде точных значений (дробей) или в виде численных значений (десятичных).

Что вы увидите в пошаговом решении:

После запуска расчета под калькулятором появится наглядный разбор задачи. Он состоит из трех обязательных блоков: исходная математическая формула, строка с подстановкой ваших значений и итоговый ответ. Если результат вычислений получается нецелым, калькулятор автоматически выведет его и в виде правильной дроби, и в виде обычного десятичного числа.

Как скопировать результат:

Вам не придется переписывать формулы или числа вручную. Просто кликните на строчку подстановки или на любой член из построенного ряда — и выражение скопируется в буфер обмена. В буфер попадет чистый математический пример, готовый для вставки в другие программы или документы.

Теория: Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это числовой ряд, в котором каждый следующий элемент получается путем прибавления к предыдущему одного и того же фиксированного числа.

Арифметическая прогрессия: Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.

Элементы такой последовательности принято обозначать малой латинской буквой с нижним индексом, который указывает на порядковый номер числа: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$. Здесь $a_1$ — это первый член последовательности, а $a_n$ — её $n$-й (или общий) член.

Шаг (разность) арифметической прогрессии

Постоянное число, которое прибавляется к каждому члену для получения следующего, называют шагом или разностью прогрессии. Данный параметр традиционно обозначают буквой $d$.

Разность арифметической прогрессии: Фиксированное число $d$, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего.

Связь между соседними элементами задается формулой: $a_{n+1} = a_n + d$. Если разность $d > 0$, то прогрессия является возрастающей. Если $d < 0$, числовой ряд будет убывающим. Чтобы найти разность по двум известным произвольным членам $a_n$ и $a_m$, используют формулу: $$d = \frac{a_m - a_n}{m - n}$$

Возьмем для примера ситуацию, когда нам известны третий член прогрессии $a_3 = 7$ и седьмой член $a_7 = 19$. Подставим эти значения в формулу: $d = \frac{19 - 7}{7 - 3} = \frac{12}{4} = 3$. В данном случае шаг равен трем, следовательно, для получения каждого последующего элемента нужно прибавлять 3.

Построение арифметической прогрессии

Чтобы построить числовой ряд, необходимо знать хотя бы один его элемент и шаг последовательности. Зная первый член $a_1$ и разность $d$, мы можем последовательно вычислить остальные элементы:

$$a_1,\, a_2 = a_1 + d,\, a_3 = a_1 + 2d,\, \dots,\, a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Если в качестве исходных данных задан член прогрессии с дальним номером, то сначала выполняют расчет первого элемента, а затем поочередно восстанавливают всю цепочку чисел вправо или влево по числовой оси.

Член арифметической прогрессии с номером n

Математическое правило позволяет находить значение любого элемента последовательности напрямую, без необходимости поочередно вычислять все предыдущие числа. Формула $n$-го члена имеет следующий вид: $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

Если первый член неизвестен, но задан другой элемент под номером $m$, формулу можно модифицировать для расчета через имеющиеся данные: $$a_n = a_m + (n - m) \cdot d$$

Эта зависимость показывает, что для перехода от элемента $a_m$ к элементу $a_n$ нужно прибавить разность $d$ ровно столько раз, сколько шагов разделяет их порядковые номера.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Под суммой первых $n$ членов понимают результат сложения всех элементов ряда, начиная с первого и заканчивая элементом с номером $n$. Обозначается этот параметр большой буквой $S_n$. Расчет выполняется по формуле: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

Так как последний член $a_n$ не всегда известен заранее, формулу часто преобразуют, подставляя в неё выражение общего члена. В таком виде для расчета требуются только первый элемент, шаг и количество слагаемых: $$S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$$

Сумма членов арифметической прогрессии от n-го до m-го

В математических задачах иногда требуется найти сумму элементов не с самого начала ряда, а на конкретном его отрезке — например, со второго по пятый член включительно. Не смотря на то что классическая формула рассчитана на суммирование от первого элемента, для произвольного диапазона существует универсальное математическое решение: $$S_{n..m} = \frac{a_n + a_m}{2} \cdot (|m - n| + 1)$$

Здесь выражение $(|m - n| + 1)$ отвечает за определение количества элементов, находящихся внутри заданного промежутка. Порядковые номера членов последовательности всегда являются положительными числами. Использование знака модуля необходимо для того, чтобы результат вычисления количества слагаемых оставался верным и положительным вне зависимости от того, из какого индекса вычитается другой.