Теория: Сокращение обыкновенных дробей
- Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы.
- Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть не имеют общих делителей, кроме единицы.
В основе сокращения дробей лежит основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Математически это свойство записывается следующим образом: $$\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}$$ где $a$, $b$ и $c$ — натуральные числа.
Способы сокращения обыкновенных дробей
На практике применяются два основных метода приведения дроби к несократимому виду:
- Сокращение с помощью наибольшего общего делителя (НОД). Сначала находят НОД числителя и знаменателя, а затем делят оба члена дроби на полученное число. Это позволяет сократить дробь за один прием.
- Разложение на простые множители. Числитель и знаменатель заменяют произведениями их простых множителей. Одинаковые множители, присутствующие над и под дробной чертой, взаимно уничтожаются, а оставшиеся числа перемножаются.
Примеры сокращения дробей по шагам
Пример 1. Сокращение дроби с помощью НОД.
Сократим дробь $\frac{24}{36}$.
Шаг 1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя:
$$\text{НОД}(24, 36) = 12$$
Шаг 2. Разделим числитель и знаменатель на найденный НОД:
$$\frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3}$$
Получен ответ: $\frac{2}{3}$.
Пример 2. Сокращение дроби методом разложения на простые множители.
Сократим дробь $\frac{60}{105}$.
Шаг 1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$$
$$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$$
Шаг 2. Представим дробь в виде произведения этих множителей:
$$\frac{60}{105} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 7}$$
Шаг 3. Вычеркнем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$$\frac{2 \cdot 2 \cdot \textcolor{#ff7e0f}{\cancel{\color{black}{3}}} \cdot \textcolor{#ff7e0f}{\cancel{\color{black}{5}}}}{\textcolor{#ff7e0f}{\cancel{\color{black}{3}}} \cdot \textcolor{#ff7e0f}{\cancel{\color{black}{5}}} \cdot 7}$$
Шаг 4. Выпишем оставшиеся множители и перемножим их:
$$\frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}$$
Получен ответ: $\frac{4}{7}$.
Действия со смешанными числами
При работе со смешанными числами (числами, у которых есть целая часть и правильная дробь) выбор математического правила зависит от целей вычисления:
- Сокращение только дробной части. Это наиболее рациональный способ для простого сокращения. Целая часть числа переносится в ответ без изменений, а все математические действия выполняются исключительно над числителем и знаменателем дробной части. Метод экономит время и страхует от ошибок в больших числах. Пример: $$2\frac{4}{10} = 2\frac{4 : 2}{10 : 2} = 2\frac{2}{5}$$
- Представление смешанного числа в виде неправильной дроби. Данное преобразование является обязательным этапом при умножении и делении смешанных чисел. Применительно к сокращению этот способ используется в случаях, когда расчеты необходимо привести к единому виду неправильной дроби. Пример преобразования и последующего сокращения: $$2\frac{4}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 4}{10}$$$$ = \frac{24}{10} = \frac{24 : 2}{10 : 2}$$$$ = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$$