Что такое двенадцатеричная система счисления
-
Двенадцатеричная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в двенадцатеричной системе счисления используется десять цифр и две буквы $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $A$ и $B$. Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $12B2A_{12}$ или $13A_{12}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в двенадцатеричную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в двенадцатеричную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $12$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $29361_{10}$ в двенадцатеричную систему счисления:
$29361 : 12 = 2446$, остаток: $9$
$2446 : 12 = 203$, остаток: $10$ ($10 = A$)
$203 : 12 = 16$, остаток: $11$ ($11 = B$)
$16 : 12 = 1$, остаток: $4$
$1 : 12 = 0$, остаток: $1$
$29361_{10} = 14BA9_{12}$
Как перевести десятичную дробь в двенадцатеричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в двенадцатеричную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в двенадцатеричную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $12$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $14.86803144_{10}$ в двенадцатеричную систему счисления:
Переведем целую часть:
$14 : 12 = 1$, остаток: $2$
$1 : 12 = 0$, остаток: $1$
$14_{10} = 12_{12}$
Переведем дробную часть:
$0.86803144 \cdot 12 = 10.41637728$ ($10 = A$)
$0.41637728 \cdot 12 = 4.99652736$
$0.99652736 \cdot 12 = 11.95832832$ ($11 = B$)
$0.95832832 \cdot 12 = 11.49993984$ ($11 = B$)
$0.49993984 \cdot 12 = 5.99927808$
$0.99927808 \cdot 12 = 11.99133696$ ($11 = B$)
$0.99133696 \cdot 12 = 11.89604352$ ($11 = B$)
$0.89604352 \cdot 12 = 10.75252224$ ($10 = A$)
$0.75252224 \cdot 12 = 9.03026688$
$0.03026688 \cdot 12 = 0.36320256$
$0.86803144_{10} = 0.A4BB5BBA90_{12}$
$14.86803144_{10} = 12.A4BB5BBA90_{12}$
Двенадцатеричные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной двенадцатеричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая двенадцатеричная дробь, поэтому умножение на $12$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $14.86803144$ не может быть точно представлена в двенадцатеричной системе счисления.
К примеру, дробь $1.5_{10}$ может быть представлена в двенадцатеричной системе счисления в виде конечной: $1.5_{10} = 1.6_{12}$.
Как перевести число из двенадцатеричной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из двенадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $12$, так как система счисления 12-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $12$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $9A36B_{12}$ в десятичную систему счисления:
Для расчета учитываем, что:
$A_{12} = 10_{10}$
$B_{12} = 11_{10}$
$$\overset{4}{9}\overset{3}{A}\overset{2}{3}\overset{1}{6}\overset{0}{B}_{12} = 9 \cdot 12^{4} + 10 \cdot 12^{3} + 3 \cdot 12^{2} + 6 \cdot 12^{1} + 11 \cdot 12^{0} = 204419_{10}$$
Как перевести дробное двенадцатеричное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное двенадцатеричное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное двенадцатеричное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $12$, так как система счисления 12-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $12$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное двенадцатеричное число $9A33.34B19_{12}$ в десятичную систему:
Для расчета учитываем, что:
$A_{12} = 10_{10}$
$B_{12} = 11_{10}$
$$\overset{3}{9}\overset{2}{A}\overset{1}{3}\overset{0}{3}.\overset{-1}{3}\overset{-2}{4}\overset{-3}{B}\overset{-4}{1}\overset{-5}{9}_{12} = 9 \cdot 12^{3} + 10 \cdot 12^{2} + 3 \cdot 12^{1} + 3 \cdot 12^{0} + 3 \cdot 12^{-1} + 4 \cdot 12^{-2} + 11 \cdot 12^{-3} + 1 \cdot 12^{-4} + 9 \cdot 12^{-5} = 17031.2842279128086419753086419746_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в двенадцатеричной системе счисления