Калькулятор пределов функций

Калькулятор пределов функции с решением, раскрывает неопределенности типа: бесконечность делить на бесконечность, ноль делить на ноль и бесконечность минус бесконечность.
Для правильной работы с калькулятором необходимо ознакомиться с правилами ввода данных, указанных ниже. Калькулятор, принимает такие функции как: возведение в степень, извлечение корня n-ой степени, логарифм, любые тригонометрические функции, нод и нок чисел и т.д.

Тип предела

→

^*Для записи бесконечности используйте oo или -oo

Предел функции

Предел функции A в заданной точке a, предельной для области определения функции – это такая величина к которой стремиться рассматриваема функция f(x) при стремлении ее аргумента x к данной точке a.

Обозначение предела функции — x – аргумент функции f(x)
a – точка стремления
**f(x)** – функция
A – предел функции f(x) в точке a

Данная запись читается как: предел функции f(x) при x, стремящемся к a.

Свойства пределов функций

1. Константу можно вынести за знак предела:

Например, вычислим предел функции $f (x)$ $=$ $3 \cdot x - 9$ при x, стремящемся к 1.

\lim_{x \to 1^{}} 3 \cdot x - 9

=

\lim_{x \to 1^{}} 3 \cdot (x - 3)

=

3

\lim_{x \to 1^{}} x - 3

=

3 \cdot (- 2)

=

- 6

2. Предел суммы (разности) двух и более функций равен сумме (разности) их пределов:

Например, вычислим предел функции $f (x)$ $=$ $x^{2} + x - 4$ при x, стремящемся к 3.

\lim_{x \to 3^{}} x^{2} + x - 4

=

\lim_{x \to 3^{}} x^{2}

+

\lim_{x \to 3^{}} x

-

\lim_{x \to 3^{}} 4

=

9 + 3 - 4

=

8

3. Предел произведения двух и более функций равен произведению их пределов:

Например, вычислим предел функции $f (x)$ $=$ $(5 - 2 \cdot x) \cdot (x - 7)$ при x, стремящемся к 2.

\lim_{x \to 2^{}} (5 - 2 \cdot x) \cdot (x - 7)

=

\lim_{x \to 2^{}} (5 - 2 \cdot x)

\cdot

\lim_{x \to 2^{}} (x - 7)

=

1 \cdot (- 5)

=

- 5

4. Предел частного двух функций равен частному их пределов, где предел знаменателя не равен нулю:

Например, вычислим предел функции $f (x)$ $=$ $\frac{x - 6}{x + 1}$ при x, стремящемся к 2.

\lim_{x \to 2^{}} \frac{x - 6}{x + 1}

=

\frac{\lim_{x \to 2^{}}(x - 6)}{\lim_{x \to 2^{}}(x + 1)}

=

\frac{-4}{3}

=

- \frac{4}{3}

5. Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Например, вычислим предел функции $f (x)$ $=$ $(x^{2} - 7)^{2}$ при x, стремящемся к 1.

\lim_{x \to 1^{}} {(x^{2} - 7)}^{2}

=

{(\lim_{x \to 1^{}}{(x}^{2} - 7))}^{2}

=

{(- 6)}^{2}

=

36

Примеры решения пределов

Пример 1. Вычислим предел функции $f (x)$ $=$ $\frac{x - 2}{x^{2} + 7}$ при x, стремящемся к 3.

\lim_{x \to 3^{}} \frac{x - 2}{x^{2} + 7}

=

\frac{- 2 + 3}{7 + 3^{2}}

=

\frac{1}{16}

Пример 2. Вычислим предел функции $f (x)$ $=$ $\frac{8 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 4}{3 \cdot x^{2} + x + 2}$ при x, стремящемся к $\infty$ .

Раскрытие неопределенности типа

\frac{\infty}{\infty}

\lim_{x \to \infty^{}} \frac{8 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 4}{3 \cdot x^{2} + x + 2}

\frac{- 4 - 3 \cdot \infty + 8 \cdot \infty^{2}}{2 + \infty + 3 \cdot \infty^{2}}

\frac{\infty}{\infty}

\lim_{x \to \infty^{}} \frac{8 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 4}{3 \cdot x^{2} + x + 2}

\lim_{x \to \infty^{}} \frac{\frac{8 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 4}{x^{2}}}{\frac{3 \cdot x^{2} + x + 2}{x^{2}}}

\lim_{x \to \infty^{}} \frac{8 - \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x}}{3 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x}}

\lim_{x \to \infty^{}} \frac{8 - \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x}}{3 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x}}

\frac{- \frac{4}{\infty^{2}} - \frac{3}{\infty} + 8}{\frac{2}{\infty^{2}} + \frac{1}{\infty} + 3}

\frac{8}{3}

Пример 3. Вычислим предел функции $f (x)$ $=$ $- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}$ при x, стремящемся к $\infty$ .

Раскрытие неопределенности типа

\infty - \infty

\lim_{x \to \infty^{}} - \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}

\sqrt{5 + \infty} - \sqrt{\infty}

\infty - \infty

\lim_{x \to \infty^{}} - \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}

\lim_{x \to {oo}^{}} \frac{(- \sqrt{x} + \sqrt{x + 5}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x + 5})}{(\sqrt{x} + \sqrt{x + 5})}

\lim_{x \to {oo}^{}} \frac{- {(\sqrt{x})}^{2} + {(\sqrt{x + 5})}^{2}}{(\sqrt{x} + \sqrt{x + 5})}

\lim_{x \to {oo}^{}} \frac{x + 5 - (x)}{(\sqrt{x} + \sqrt{x + 5})}

\lim_{x \to {oo}^{}} \frac{5}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 5}}

\lim_{x \to {oo}^{}} \frac{5}{(\sqrt{5 + \infty} + \sqrt{\infty})}

\lim_{x \to {oo}^{}} \frac{5}{\infty}

0

Пример 4. Вычислим предел функции $f (x)$ $=$ $\frac{2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 5}{x + 1}$ при x, стремящемся к -1.

Раскрытие неопределенности типа

\frac{0}{0}

\lim_{x \to {-1}^{}} \frac{2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 5}{x + 1}

\frac{2 \cdot {(-1)}^{2} - 3 \cdot (-1) - 5}{-1 + 1}

\frac{0}{0}

\lim_{x \to {-1}^{}} \frac{2 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 5}{x + 1}

\lim_{x \to {-1}^{}} \frac{(x + 1) \cdot (2 \cdot x - 5)}{x + 1}

\lim_{x \to {-1}^{}} 2 \cdot x - 5

2 \cdot (-1) - 5

-7

Правила ввода чисел и функций

Содержание:

Десятичная дробь.
Обыкновенная дробь a/b.
Произведение чисел a*b.

Число пи (π).
Число Эйлера e.
Е – буква, означающая 10ⁿ.

Абсолютная величина. Модуль |x| числа Abs(x).

Квадратный корень sqrt(x).
Корень любой степени root(n, x).
Корень (в области вещественных чисел) real_root(n, x).
Возведение в степень n^(x) или pow(n, x).

Логарифм числа log(n, x).
Натуральный логарифм ln(n).
Наибольший общий делитель НОД gcd(n, m).
Наименьшее общее кратное НОК lcm(n, m).

Тригонометрические функции.
Синус угла sin(x).
Косинус угла cos(x).
Тангенс угла tan(x).
Котангенс угла cot(x).
Секанс угла sec(x).
Косеканс угла csc(x).

Обратные тригонометрические функции.
Арксинус угла asin(x).
Арккосинус угла acos(x).
Арктангенс угла atan(x).
Арккотангенс угла acot(x).
Арксеканс угла asec(x).
Арккосеканс угла acsc(x).

Выражения, содержащие множественное вложение функций и математических операций.

Десятичная дробь

Запись:
Для записи десятичной дроби используйте точку

Пример:
1.12

Обыкновенная дробь a/b

Запись:
Для ввода обыкновенных дробей воспользуйтесь знаком «/»

Пример:
1/2 или 3/4

Произведение чисел

Запись:
Для записи произведения используйте знак «*»

Пример:
5*4 или 2* - 5*(3^9)

Число пи (π)

Запись:
Для записи числа π введите «π», либо «pi».

Пример:
sin(π)

Число Эйлера e
е = 2.7182818284...

Запись:
Для записи числа e введите 2.7182818284.

Е – буква, означающая 10ⁿ

Запись:
Буква Е должна находится только в числе

Пример:
16e+6
16e-4
3.96e+3

Абсолютная величина (модуль)

Запись:
Abs(x)

Пример:
|x| записывается как Abs(x)
|x-2|-|x+2| записывается как Abs(x-2)-Abs(x+2)
|x|/|y| записывается как Abs(x)/Abs(y)

Квадратный корень sqrt(x)

Запись:
sqrt(x), где
x – любое число или выражение.

Пример:
√3 записывается как sqrt(3)
√(3/5) записывается как sqrt(3/5)
√(3*3) записывается как sqrt(3*3)

Корень любой степени root(n, x)

Запись:
root(n, x), где
n – подкореное выражение
x – степень корня
x, n – любые числа или выражения.
Для корня четной степени, подкореное выражение не может быть отрицательным.

Пример:
Корень кубический из дроби 2/5
³√(2/5) записывается как root(2/5, 3)

Другие примеры
³√(2/5) записывается как root(1.5, 3)
^3/2√(3*5) записывается как root((3*5), 3/2)
^3/7√(1.5) записывается как root(1.5, 3/7)

Корень (в области вещественных чисел) real_root(n, x)
Если вам не нужно вычислять значение корня в области комплексных чисел, используйте функцию real_root(n, x) для нахождения вещественных корней.
Запись:
real_root(n, x), где
n – подкореное выражение
x – степень корня
x, n – любые числа или выражения.

Пример:
Выражение:
$\sqrt[3]{-2}$
Запись:
real_root(-2, 3)

Для возведения в степень используйте знак «^» либо функцию pow(n, x)

Пример:
5³ записывается как 5^(3)
a^bc записывается как a^(b*c)
5^sin(x) записывается как 5^(sin(x))

Возведение в степень pow(n, x)

Запись:
pow(n, x), где
n – основание
x – показатель степени
x, n – любые числа или выражения.

Пример:
Пять в степени три
pow(5, 3)

Другие примеры
pow(12.5, 3)
pow((3-5), 3/2)
pow(1.5, sqrt(2))

Логарифм числа log(n, x)

Запись:
log(n, x), где
n – число, логарифм которого требуется найти
x – основание логарифма.
x > 0, x ≠ 1, n > 0

Пример:
Log5 34 (логарифм числа 34 по основанию 5), запишем как
log(34, 5)

Натуральный логарифм ln(n)
Основание равно числу Эйлера e
(е = 2.7182818284...)

Запись:
ln(n), где
n > 0 <

Пример:
Ln(7)

Наибольший общий делитель НОД gcd(n, m)

Запись:
gcd(n, m), где
n, m – целые неотрицательные числа

Пример:
НОД(12; 16) нужно записать как
gcd(12, 16)

Наименьшее общее кратное НОК lcm(n, m)

Запись:
lcm(n, m), где
n, m – целые неотрицательные числа

Пример:
НОК(4; 23) нужно записать как
lcm (4, 23)

Тригонометрические функции
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Синус угла sin(x)

Запись:
sin(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Синус π/3
sin(π/3)

Синус 60° градусов
Sin(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Косинус угла cos(x)

Запись:
Cos(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Косинус π/3
cos(π/3)

Косинус 60° градусов
cos(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Тангенс угла tan(x)

Запись:
tan(x)
tan(x, measure)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Тангенс π/3
tan(π/3)

Тангенс 60° градусов
tan(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Котангенс угла cot(x)

Запись:
Cot(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Котангенс π/3
cot(π/3)

Котангенс 60° градусов
cot(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Секанс угла sec(x)

Запись:
sec(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Секанс π/3
sec(π/3)

Секанс 60° градусов
sec(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Косеканс угла csc(x)

Запись:
csc(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Косеканс π/3
csc(π/3)

Косеканс 60° градусов
csc(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Обратные тригонометрические функции
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Арксинус asin(x)

Запись:
asin(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Арксинус 1/3
asin(1/3)

Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Арккосинус acos(x)

Запись:
acos(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Арккосинус 1/3
acos(1/3)

Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Арктангенс atan(x)

Запись:
atan(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Арктангенс 1/3
atan(1/3)

Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Арккотангенс acot(x)

Запись:
acot(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Арккотангенс 1/3
acot(1/3)

Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Арксеканс asec(x)

Запись:
asec(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Арксеканс 1/3
asec(1/3)

Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Арккосеканс acsc(x)

Запись:
acsc(x)
Где
x – число, буква или выражение

Пример:
Арккосеканс 1/3
Acsc(1/3)

Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.

Выражения, содержащие множественное вложение функций и математических операций
Любое выражение может содержать в себе множественное вложение функций, ограничение по длине выражения составляет 100 символов. Введите выражение (максимальная длина 100 символов).

Примеры:
root(2^(3.4), 2);
sin(x)+cos(x)
и т.д.

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел