При изучении пределов важно определить, какие элементы входят в запись предела функции. В выражении $f(x)$ символ $x$ обозначает аргумент функции, а $f(x)$ — само функциональное значение, зависящее от $x$. Точка $a$ называется точкой стремления аргумента. Общая форма записи предела имеет вид: $$ \lim_{x \to a} f(x) = A $$. Здесь $A$ — это значение, к которому стремится функция $f(x)$ при приближении аргумента $x$ к $a$. Данная запись читается как: предел функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к $a$.
Свойства пределов функций
Рассмотрим основные свойства, которыми можно пользоваться при вычислении пределов. Эти правила позволяют упростить выражение ещё до непосредственного вычисления предела, а также делают решение более наглядным и организованным.
-
Константу можно вынести за знак предела:
$$ \lim_{x \to a} \, c \cdot f(x) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) $$
Например, вычислим предел функции $f(x) = 3x - 9$ при $x$, стремящемся к $1$:
\[
\lim_{x \to 1} (3x - 9) = \lim_{x \to 1} (3 \cdot (x - 3)) = 3 \cdot \lim_{x \to 1} (x - 3) = 3 \cdot (1 - 3) = 3 \cdot (-2) = -6
\]
-
Предел суммы (разности) двух и более функций равен сумме (разности) их пределов:
\[
\lim_{x \to a} \left( f(x) \pm u(x) \right)
= \lim_{x \to a} f(x) \;\pm\; \lim_{x \to a} u(x)
\]
Например, вычислим предел функции \( f(x) = x^2 + x - 4 \) при \( x \), стремящемся к \( 3 \):
\[
\lim_{x \to 3} (x^2 + x - 4)
= \lim_{x \to 3} x^2 + \lim_{x \to 3} x - \lim_{x \to 3} 4
= 9 + 3 - 4 = 8
\]
-
Предел произведения двух и более функций равен произведению их пределов:
\[
\lim_{x \to a} \left( f(x) \times u(x) \right)
= \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} u(x)
\]
Например, вычислим предел функции \( f(x) = (5 - 2x)(x - 7) \) при \( x \), стремящемся к \( 2 \):
\[
\lim_{x \to 2} (5 - 2x)(x - 7)
= \lim_{x \to 2} (5 - 2x) \times \lim_{x \to 2} (x - 7)
= (5 - 2 \cdot 2) \times (2 - 7)
= 1 \times (-5)
= -5
\]
-
Предел частного двух функций равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю:
\[
\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{u(x)} =
\frac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} u(x)}, \quad
\lim\limits_{x \to a} u(x) \neq 0
\]
Например, вычислим предел функции \( f(x) = \frac{x-6}{x+1} \) при \( x \), стремящемся к \( 2 \):
\[
\lim\limits_{x \to 2} \frac{x - 6}{x + 1}
= \frac{\lim\limits_{x \to 2} (x - 6)}{\lim\limits_{x \to 2} (x + 1)}
= \frac{2 - 6}{2 + 1}
= \frac{-4}{3}
= -\frac{4}{3}
\]
-
Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:
\[
\lim\limits_{x \to a} f(x)^n =
\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) \right)^n , \quad n \in \mathbb{N}
\]
Например, вычислим предел функции \( f(x) = (x^2 - 7)^2 \) при \( x \), стремящемся к \( 1 \):
\[
\lim\limits_{x \to 1} (x^2 - 7)^2
= \left( \lim\limits_{x \to 1} (x^2 - 7) \right)^2
= (1^2 - 7)^2
= (-6)^2
= 36
\]
Примеры решения пределов
Пример 1. Вычислим предел функции \( f(x) = \frac{x - 2}{x^2 + 7} \) при \( x \), стремящемся к \( 3 \).
Для вычисления предела рациональной функции мы можем по свойству предела частного
разделить предел числителя на предел знаменателя, так как предел знаменателя не равен нулю.
Это позволяет подставить значение предела под знаком предела напрямую.
\[
\lim\limits_{x \to 3} \frac{x - 2}{x^2 + 7}
= \frac{\lim\limits_{x \to 3} (x - 2)}{\lim\limits_{x \to 3} (x^2 + 7)}
\]
Подставим \( x = 3 \) в числитель и знаменатель:
\[
\frac{3 - 2}{3^2 + 7}
= \frac{1}{9 + 7}
= \frac{1}{16}
\]
Ответ: \( \frac{1}{16} \).
Пример 2. Вычислим предел функции
\( f(x) = \frac{8x^2 - 3x - 4}{3x^2 + x + 2} \) при \( x \to \infty \).
Заметим, что при \( x \to \infty \) числитель и знаменатель стремятся к бесконечности,
поэтому имеем неопределенность вида \( \frac{\infty}{\infty} \). Чтобы её раскрыть,
разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на \( x^2 \).
\[
\lim\limits_{x \to \infty}
\frac{8x^2 - 3x - 4}{3x^2 + x + 2}
=
\lim\limits_{x \to \infty}
\frac{\frac{8x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} - \frac{4}{x^2}}
{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}
\]
\[
=
\lim\limits_{x \to \infty}
\frac{8 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}}
{3 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}
\]
Теперь можно подставить предел, так как дроби с \( x \) стремятся к нулю:
\[
\frac{8 - 0 - 0}{3 + 0 + 0} = \frac{8}{3}
\]
Ответ: \( \frac{8}{3} \).
Пример 3. Вычислим предел функции
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x \) при \( x \to \infty \).
Заметим, что при \( x \to \infty \) обе части выражения стремятся к бесконечности,
поэтому имеем неопределенность вида \( \infty - \infty \). Чтобы её раскрыть,
умножим и разделим выражение на сопряженное к нему.
\[
\lim\limits_{x \to \infty}
(\sqrt{x^2 + 4x} - x)
=
\lim\limits_{x \to \infty}
\frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - x)(\sqrt{x^2 + 4x} + x)}{\sqrt{x^2 + 4x} + x}
\]
\[
=
\lim\limits_{x \to \infty}
\frac{x^2 + 4x - x^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x}
=
\lim\limits_{x \to \infty}
\frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x}
\]
Теперь можно разделить числитель и знаменатель на \( x \), так как дроби с \( x \) стремятся к нулю:
\[
\frac{4}{\sqrt{1 + 4/x} + 1} = \frac{4}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{4}{2} = 2
\]
Ответ: \( 2 \).