Калькулятор корней

Теория: Корень в математике

Операция извлечения корня из числа является обратной операцией к операции возведения в степень. Математически это записывается в виде выражения: \(\sqrt[n]{a} = x\).

Обозначение и терминология: корень обозначается при помощи специального символа, который называется знаком корня (или радикалом). Число \(a\), которое находится под корнем, называется подкоренным выражением, а число \(n\), расположенное слева от символа корня, называется степенью корня.

$$\sqrt[\text{степень корня}]{\text{подкоренное выражение}}$$

Степень корня

Должна быть выражена натуральным числом (\(1, 2, 3, 4, 5 \dots\)), то есть степень корня не может быть отрицательной, нулем или дробным числом.

По сути, как уже было сказано выше, извлечь корень из числа \(a\) означает возведение числа \(a\) в дробную степень, числителем которой выступает степень числа \(a\), а знаменателем — степень корня. Это свойство выражается фундаментальным тождеством:

$$\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$$

Следует заметить, что если степень корня равна \(2\), то число два, как правило, не пишут, а такой корень называется квадратным. Приведем примеры извлечения корня:

• \(\sqrt{4} = \pm 2\), так как \((\pm 2)^2 = 4\)
• \(\sqrt[3]{125} = 5\), так как \(5^3 = 125\)
• \(\sqrt[7]{2187} = 3\), так как \(3^7 = 2187\)

Исходя из вышенаписанных примеров, можно сделать вывод, что когда мы хотим извлечь корень, к примеру, \(2\)-й степени, то нам необходимо найти такое число, которое при возведении во \(2\)-ю степень даст подкоренное выражение. То есть процесс извлечения корня всегда сводится к представлению подкоренного числа в виде степени, равной степени корня!

Четная и нечетная степень корня

Математические свойства корней принципиально зависят от того, является ли показатель степени чётным или нечётным числом. Рассмотрим эти случаи последовательно.

Корень нечетной степени

При извлечении корня нечетной степени из положительного числа мы будем всегда получать положительное число. Например:

$$\sqrt[3]{125} = 5, \quad \text{так как} \quad 5^3 = 125$$

При извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа мы будем всегда получать отрицательное число. Например:

$$\sqrt[3]{-216} = -6, \quad \text{так как} \quad (-6)^3 = -216$$

В данном примере можно легко увидеть, почему при извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа всегда будет получаться отрицательное число. Как известно, чтобы возвести число в степень, необходимо его умножить само на себя в количестве показателя степени.

Если \(-6\) умножить на \(-6\), получится положительное число \(36\) (мы знаем, что при умножении двух отрицательных чисел всегда получается положительное число). Затем, если умножить положительное число \(36\) на отрицательное \(-6\), получим \(-216\), так как при умножении отрицательного числа на положительное всегда будет получаться отрицательное число.

Корень четной степени

При извлечении корня чётной степени из положительного числа всегда будет получаться два значения с противоположными знаками.

Это связано с тем, что если представить, к примеру, функцию квадратного корня \(y = \sqrt{x}\) и посмотреть на ее график, то мы увидим, что каждому значению \(x\) соответствует два значения корня: одно положительное, а другое отрицательное. Для понимания данного факта нет необходимости строить график, рассмотрим на примере извлечение квадратного корня из числа \(4\):

$$\sqrt{4} = \pm 2, \quad \text{так как} \quad (\pm 2)^2 = 4$$

Проверим: \(2 \cdot 2 = 4\) и \(-2 \cdot (-2) = 4\).

Приведем еще пример с четной степенью корня для положительного числа. \(\sqrt[4]{81} = \pm 3\), так как \((\pm 3)^4 = 81\).

Теперь рассмотрим ситуацию, когда под корнем четной степени стоит отрицательное число. Допустим, мы хотим извлечь квадратный корень из отрицательного числа, например, \(\sqrt{-4}\). Теперь подумаем, есть ли вообще такое число, которое при возведении в квадрат давало бы \(-4\)? Ответ — нет! Любое вещественное число при возведении в четную степень всегда будет положительным.

Поэтому корня чётной степени из любого отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число.

Тем не менее, извлечь корень четной степени всё-таки можно, но результатом будет всегда комплексное число. В поле комплексных чисел появляется мнимая единица \(i\), квадрат которой равен \(-1\). Например:

• \(\sqrt{-4} = \pm 2i\), так как \((\pm 2i)^2 = 4 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4\)
• \(\sqrt{-9} = \pm 3i\), так как \((\pm 3i)^2 = 3^2 \cdot i^2 = 9 \cdot (-1) = -9\), что позволяет получить точные мнимые значения на комплексной плоскости.

Арифметический и алгебраический корни

Разница в количестве ответов привела к необходимости разделения понятий корня на две строгие категории.

Арифметический корень

Упрощенная запись корня четной степени из положительного числа, значение которого представляется всегда положительным числом. Например: \(\sqrt{4} = 2\).

Алгебраический корень, в свою очередь, для корня четной степени из положительного числа является полным ответом и содержит как положительные, так и отрицательные значения. Например: алгебраический квадратный корень из \(4\) равен \(\pm 2\), то есть \(\sqrt{4} = \pm 2\).

Как упростить корень

Для того чтобы упростить любой корень, необходимо разложить подкоренное выражение на простые множители и вынести за знак корня тот множитель, который повторяется равное степени корня число раз.

Если одинаковых множителей набирается достаточное количество, они объединяются в группы. Каждая группа дает право вынести один множитель за знак радикала, а оставшиеся без пары числа перемножаются и остаются под корнем.

Определить это количество очень просто: оно всегда должно быть строго равно степени самого корня. Для квадратного корня (степень \(2\)) одинаковые числа объединяются в группы по две штуки, для кубического (степень \(3\)) — по три штуки, для четвертой степени — по четыре, и так далее. Каждая такая группа дает право вынести всего один множитель за знак радикала, а все оставшиеся без полной группы числа перемножаются между собой и остаются под корнем.

Практические примеры упрощения выражений по данной схеме:

• Упростим выражение \(\sqrt{168}\) (степень корня 2 — объединяем одинаковые числа по две штуки):

  $$\sqrt{168} = \sqrt{{\textcolor{red}{2}} \cdot {\textcolor{red}{2}} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7} = 2\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 7} = 2\sqrt{42}$$

• Упростим выражение \(\sqrt[3]{120}\) (степень корня 3 — объединяем одинаковые числа по три штуки):

  $$\sqrt[3]{120} = \sqrt[3]{{\textcolor{red}{2}} \cdot {\textcolor{red}{2}} \cdot {\textcolor{red}{2}} \cdot 3 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{3 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{15}$$

• Упростим выражение \(\sqrt{\frac{98}{27}}\) (степень корня 2 — ищем пары отдельно для числителя и знаменателя):

  $$\sqrt{\frac{98}{27}} = \sqrt{\frac{{\textcolor{red}{7}} \cdot {\textcolor{red}{7}} \cdot 2}{{\textcolor{red}{3}} \cdot {\textcolor{red}{3}} \cdot 3}} = \frac{7}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}$$

• Упростим выражение \(\sqrt[3]{\frac{24}{175}}\) (степень корня 3 — ищем тройки множителей в числителе):

  $$\sqrt[3]{\frac{24}{175}} = \sqrt[3]{\frac{{\textcolor{red}{2}} \cdot {\textcolor{red}{2}} \cdot {\textcolor{red}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 7}} = 2\sqrt[3]{\frac{3}{175}}$$

• Упростим выражение \(\sqrt[3]{\frac{7}{24}}\) (степень корня 3 — группируем тройку двоек в знаменателе):

  $$\sqrt[3]{\frac{7}{24}} = \sqrt[3]{\frac{7}{{\textcolor{red}{2}} \cdot {\textcolor{red}{2}} \cdot {\textcolor{red}{2}} \cdot 3}} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{3}}$$