Теория: Перевод обыкновенных дробей в десятичные
- Конечная десятичная дробь — это числовая запись, в которой целая и дробная части разделены точкой, а количество знаков после точки строго ограничено.
- Бесконечная периодическая дробь — это десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр в дробной части начинают бесконечно повторяться в неизменном порядке. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Любую обыкновенную дробь можно рассматривать как операцию деления, где числитель выполняет роль делимого, а знаменатель — делителя. Перевод в десятичную форму основан строго на свойствах знаменателя и применении основного свойства дроби.
Правило перевода для знаменателей 10, 100, 1000 и так далее
Если обыкновенная дробь изначально имеет знаменатель вида 10, 100, 1000 и так далее, её перевод в десятичную форму всегда выполняется путём подсчёта нулей в знаменателе и цифр в числителе:
- Записывают целую часть числа (если её нет, пишут 0) и ставят точку.
- Считают количество нулей в знаменателе — оно указывает, сколько цифр должно стоять в дробной части после точки.
- В самый конец дробной части записывают значение числителя.
- Если цифр в числителе меньше, чем нулей в знаменателе, вычисляют их разницу. Из количества нулей вычитают количество цифр, и полученное количество недостающих нулей приписывают перед значением числителя сразу после точки.
- Если количество цифр совпадает с количеством нулей, значение числителя просто записывают в дробную часть числа после точки без добавления нулей.
Пример с разницей цифр и нулей: Переведём дробь $\displaystyle \frac{12}{1000}$. Целой части нет, пишем $0$ и ставим точку. В знаменателе три нуля, а в числителе две цифры (12). Находим разницу: $3 - 2 = 1$. Значит, перед числом 12 нужно приписать один недостающий нуль. Получаем ответ: $0.012$.
Пример со смешанным числом: Переведём число $\displaystyle 5\frac{12}{1000}$. Целая часть равна 5, записываем её и ставим точку. В знаменателе три нуля, а в числителе две цифры (12). Находим разницу: $3 - 2 = 1$. Припишем перед числителем один нуль. Получаем ответ: $5.012$.
Перевод дробей с другими знаменателями
Если знаменатель обыкновенной дроби отличается от чисел 10, 100, 1000 и так далее, то такую дробь необходимо привести к одному из этих знаменателей. Для этого выполняют следующие действия:
- Дробь приводят к несократимому виду. Если у числителя и знаменателя есть общие делители, их сокращают с помощью наибольшего общего делителя (НОД). Это обязательное условие, иначе определить правильный способ перевода будет невозможно.
- Знаменатель раскладывают на простые множители. Несократимую дробь можно перевести в конечную десятичную только в том случае, если в разложении её знаменателя на простые множители присутствуют исключительно числа 2 и 5 (в любых количествах и комбинациях). Если среди множителей появляется хотя бы одно другое число (например, 3, 7, 11 или 13), такая дробь гарантированно станет бесконечной периодической.
Пример с сокращением: Дробь $\displaystyle \frac{6}{15}$ на первый взгляд имеет знаменатель 15, который не состоит из двоек и пятёрок. Но если мы найдём НОД (он равен 3) и сократим её, то получим несократимую дробь $\displaystyle \frac{2}{5}$. В её знаменателе осталась только пятёрка, а значит, её можно перевести в конечную десятичную дробь.
Применение основного свойства дроби для получения знаменателей 10, 100, 1000
Перевод обыкновенной дроби в десятичную заключается в том, чтобы превратить её знаменатель в число 10, 100, 1000 или аналогичное число с единицей и нулями. Число 10 является основой нашей десятичной системы счисления и состоит только из пар простых множителей: 2 · 5 = 10. Число 100 — это две пары ($2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$), а 1000 — это три пары ($2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$).
Если в знаменателе дроби после разложения остались только двойки или только пятёрки, у них нет пары для образования десятки. Чтобы исправить это, применяется основное свойство дроби: числитель и знаменатель умножают на одно и то же число. Мы искусственно добавляем недостающие множители:
- Если в знаменателе есть только двойки, мы домножаем дробь на такое же количество пятёрок.
- Если в знаменателе есть только пятёрки, мы домножаем дробь на такое же количество двоек.
Важное правило: домножать только знаменатель нельзя, иначе изменится само значение дроби. Чтобы дробь осталась равной исходной, числитель тоже обязательно домножают на эти же самые числа. В результате в знаменателе получается нужное число (10, 100 или 1000), а в числителе — изменённое значение, которое затем просто записывается после точки.
Пример с домножением: Возьмём дробь $\displaystyle \frac{1}{40}$. Разложим знаменатель на простые множители: $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$. Мы видим, что у нас есть три двойки и всего одна пятёрка. Чтобы у каждой двойки появилась своя пара, нам не хватает ещё двух пятёрок ($5 \cdot 5 = 25$). Домножим числитель и знаменатель на 25:
$$\displaystyle \frac{1 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{25}{1000} = 0.025$$
Особенности перевода бесконечных периодических дробей
Если при разложении несократимого знаменателя обнаружился любой другой простой множитель (например, число 3), получить в знаменателе число 10, 100 или 1000 умножением невозможно. Пары $2 \cdot 5 = 10$ никак не смогут уничтожить или поглотить тройку. Единственный способ перевести такую дробь — это разделить числитель на знаменатель уголком (в столбик).
В процессе деления остатки неизбежно начнут повторяться, из-за чего в ответе станет циклически дублироваться одна и та же цифра или группа цифр. Этот повторяющийся кусок (период) записывают один раз и берут в круглые скобки.
Пример с периодической дробью: Переведём дробь $\displaystyle \frac{1}{6}$. Её знаменатель раскладывается как $2 \cdot 3$. Из-за тройки перевод домножением невозможен. При делении единицы на 6 в столбик мы получим: $0.16666...$ Цифра 6 начинает бесконечно повторяться. Запишем её в скобках как период: $0.1(6)$.