Биссектриса треугольника - это линия, которая делит внутренний угол треугольника на два равных угла. Биссектриса исходит из вершины треугольника и пересекает противоположное ей сторону.

Биссектрисы трех углов треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром вписанной окружности треугольника.

Биссектриса, делящая угол α на два равных угла обозначается как b_a.
Биссектриса, делящая угол β на два равных угла обозначается как b_b.
Биссектриса, делящая угол γ на два равных угла обозначается как b_c.

Формулы вычисления длины биссектрисы треугольника по трем его сторонам

b_{a}

=

\frac{\sqrt{b c \cdot (a + b + c) (b + c - a)}}{b + c}

b_{b}

=

\frac{\sqrt{a c \cdot (a + b + c) (a + c - b)}}{a + c}

b_{c}

=

\frac{\sqrt{a b \cdot (a + b + c) (a + b - c)}}{a + b}

Вычисление длины биссектрисы треугольника по площади и трем высотам

Формулы нахождения биссектрис треугольника по значению пощади (S) и высот можно вывести из формул площади треугольника и формул вычисления длины биссектрис треугольника по трем сторонам:

Если значение площади треугольника по опущенной высоте и длины стороны равно:

S

=

\frac{a \cdot h_{a}}{2}

S

=

\frac{b \cdot h_{b}}{2}

S

=

\frac{c \cdot h_{c}}{2}

То выразим значения длин сторон из данных формул:

a

=

\frac{2 S}{h_{a}}

b

=

\frac{2 S}{h_{b}}

c

=

\frac{2 S}{h_{c}}

Подставим получившиеся формулы длин сторон в формулы вычисления биссектрисы по трем сторонам:

b_{a}

=

\frac{\sqrt{b c \cdot (a + b + c) (b + c - a)}}{b + c}

b_{b}

=

\frac{\sqrt{a c \cdot (a + b + c) (a + c - b)}}{a + c}

b_{c}

=

\frac{\sqrt{a b \cdot (a + b + c) (a + b - c)}}{a + b}

Тогда,

b_{a}

=

\frac{\sqrt{\frac{2 S}{h_{b}} \cdot \frac{2 S}{h_{c}} \cdot (\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}}) (\frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}} - \frac{2 S}{h_{a}})}}{\frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}}}

b_{b}

=

\frac{\sqrt{\frac{2 S}{h_{a}} \cdot \frac{2 S}{h_{c}} \cdot (\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}}) (\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{c}} - \frac{2 S}{h_{b}})}}{\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{c}}}

b_{c}

=

\frac{\sqrt{\frac{2 S}{h_{a}} \cdot \frac{2 S}{h_{b}} \cdot (\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}}) (\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} - \frac{2 S}{h_{c}})}}{\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}}}

Упростим получившиеся выражения:

b_{a}

=

\frac{2 \cdot h_{b} \cdot h_{c} \cdot \sqrt{S^{4} \cdot (\frac{1}{h_{b} \cdot h_{c}}) \cdot (\frac{2}{h_{b} \cdot h_{c}} + \frac{1}{{h_{c}}^{2}} + \frac{1}{{h_{b}}^{2}} - \frac{1}{{h_{a}}^{2}})}}{S \cdot (h_{b} + h_{c})}

b_{b}

=

\frac{2 \cdot h_{a} \cdot h_{c} \cdot \sqrt{S^{4} \cdot (\frac{1}{h_{a} \cdot h_{c}}) \cdot (\frac{2}{h_{a} \cdot h_{c}} + \frac{1}{{h_{c}}^{2}} - \frac{1}{{h_{b}}^{2}} + \frac{1}{{h_{a}}^{2}})}}{S \cdot (h_{a} + h_{c})}

b_{c}

=

\frac{2 \cdot h_{a} \cdot h_{b} \cdot \sqrt{S^{4} \cdot (\frac{1}{h_{a} \cdot h_{b}}) \cdot (\frac{2}{h_{a} \cdot h_{b}} - \frac{1}{{h_{c}}^{2}} + \frac{1}{{h_{b}}^{2}} + \frac{1}{{h_{a}}^{2}})}}{S \cdot (h_{a} + h_{b})}

Формулы вычисления длины биссектрисы треугольника по двум сторонам и углу между ними

b_{a}

=

\frac{2 b c \cdot \cos (\frac{α}{2})}{b + c}

b_{b}

=

\frac{2 a c \cdot \cos (\frac{β}{2})}{a + c}

b_{c}

=

\frac{2 a b \cdot \cos (\frac{γ}{2})}{a + b}

Обратите внимание, что функция косинуса cos() принимает значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы.

Формулы вычисления длины биссектрисы треугольника по двум углам и одной стороне

b_{a}

=

\frac{a \cdot \sin (β) \cdot \sin (γ)}{\sin (β + γ) \cdot \cos (\frac{β - γ}{2})}

b_{b}

=

\frac{b \cdot \sin (α) \cdot \sin (γ)}{\sin (α + γ) \cdot \cos (\frac{α - γ}{2})}

b_{c}

=

\frac{c \cdot \sin (α) \cdot \sin (β)}{\sin (α + β) \cdot \cos (\frac{α - β}{2})}

Обратите внимание, что функции синуса sin() и косинуса cos() принимают значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы.

Формулы вычисления длины биссектрисы треугольника по высоте и двум углам

вычисление длины биссектрисы треугольника по высоте и двум углам

b_{a}

=

\frac{h_{a}}{\cos (\frac{β - γ}{2})}

b_{b}

=

\frac{h_{b}}{\cos (\frac{α - γ}{2})}

b_{c}

=

\frac{h_{c}}{\cos (\frac{α - β}{2})}

Вычисление длины биссектрисы треугольника по трем углам и радиусу описанной окружности (R)

биссектрисы треугольника и описанная окружность

Формулы нахождения биссектрис треугольника по значению радиуса описанной окружности (R) и трех углов можно вывести из формул радиуса описанной окружности (R) треугольника и формул вычисления длины биссектрис треугольника по двум углам и одной стороне:

Если значение радиуса описанной окружности (R) по стороне и углу равно:

R

=

\frac{a}{2 \cdot \sin (α)}

R

=

\frac{b}{2 \cdot \sin (β)}

R

=

\frac{c}{2 \cdot \sin (γ)}

То выразим значения длин сторон из данных формул:

a

=

2 \cdot R \cdot \sin (α)

b

=

2 \cdot R \cdot \sin (β)

c

=

2 \cdot R \cdot \sin (γ)

Подставим получившиеся формулы длин сторон в формулы вычисления биссектрисы треугольника по двум углам и одной стороне:

b_{a}

=

\frac{a \cdot \sin (β) \cdot \sin (γ)}{\sin (β + γ) \cdot \cos (\frac{β - γ}{2})}

b_{b}

=

\frac{b \cdot \sin (α) \cdot \sin (γ)}{\sin (α + γ) \cdot \cos (\frac{α - γ}{2})}

b_{c}

=

\frac{c \cdot \sin (α) \cdot \sin (β)}{\sin (α + β) \cdot \cos (\frac{α - β}{2})}

Тогда,

b_{a}

=

\frac{2 \cdot R \cdot \sin (α) \cdot \sin (β) \cdot \sin (γ)}{\sin (β + γ) \cdot \cos (\frac{β - γ}{2})}

b_{b}

=

\frac{2 \cdot R \cdot \sin (β) \cdot \sin (α) \cdot \sin (γ)}{\sin (α + γ) \cdot \cos (\frac{α - γ}{2})}

b_{c}

=

\frac{2 \cdot R \cdot \sin (γ) \cdot \sin (α) \cdot \sin (β)}{\sin (α + β) \cdot \cos (\frac{α - β}{2})}

Снова обратите внимание, что функции синуса sin() и косинуса cos() принимают значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы.

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы по геометрии

Калькуляторы площади

Калькулятор площади геометрических фигур

Калькулятор площади квадрата

Калькулятор площади прямоугольника

Калькулятор площади треугольника

Калькулятор площади окружности

Калькулятор площади эллипса

Калькулятор площади трапеции

Калькулятор площади правильного многоугольника

Калькулятор площади параллелограмма