Калькулятор логарифмов

Укажите аргумент (число) и выберите основание логарифма, либо введите свое значение. Аргумент и основание логарифма могут быть представлены математическими выражениями. Допустимы: числа, знаки +, -, *, /, ^, круглые скобки (), а также функции sqrt и число π.

Выберите основание логарифма, либо введите свои значения

log

Показать ход решения

Выражение

$$\log_{4}\left(\frac{1}{8}\right)$$

Результат

Аналитический вид

$$-\frac{3}{2}$$

Численное значение

$$-1.5$$

О калькуляторе

Этот калькулятор помогает находить логарифмы по любому основанию.

С его помощью можно быстро посчитать привычные логарифмы: натуральный, десятичный и двоичный.

Также вы можете указать свое собственное число в качестве основания для индивидуальных расчетов.

Для ввода данных подходят любые математические выражения:

Числа и дроби: можно вводить целые числа, десятичные дроби через точку или запятую, а также обыкновенные дроби через косую черту (/).
Арифметические операции: поддерживаются знаки сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень (+, -, *, /, ^).
Скобки и функции: для изменения приоритета операций используйте круглые скобки (), а также встроенную функцию корня sqrt и математическую константу π.

Важная особенность калькулятора — он умеет работать с отрицательными числами. В рамках школьной программы считается, что логарифма от отрицательного числа не существует. Однако этот калькулятор умеет выходить за рамки обычных чисел и в таких случаях выдает точный ответ в виде комплексного числа (со значком мнимой единицы i).

После нажатия кнопки вычисления калькулятор готовит ответ сразу в двух удобных форматах:

Аналитический вид: показывает точный математический результат, который часто выводится в виде привычной правильной или неправильной дроби.
Численное значение: показывает тот же самый результат, но переведенный в понятную округленную десятичную дробь.

Невозможно посчитать логарифм только в нескольких исключительных случаях: когда само число или его основание равны 0, а также когда в основание введена единица 1 или -1. В этих ситуациях калькулятор сразу покажет подсказку, что данные нужно исправить.

Теория: Как решать логарифмы

Что такое логарифм: Найти логарифм означает найти показатель степени, в которую необходимо возвести число $a$, чтобы получить число $b$. Говоря простым языком, когда мы вычисляем логарифм, то всегда находим степень, и если возвести число $a$ в эту степень, получим число $b$.

Логарифм обозначается как $\log_a b$ и такая запись читается как: логарифм $b$ по основанию $a$.

Обозначим за $x$ искомую степень числа $a$, тогда можно записать следующее уравнение: $a^x = b$

Классические примеры и проверка

Приведем примеры:
Дан логарифм $\log_4 64$, нам необходимо найти такой показатель степени, что при возведении в нее числа 4 должно получиться 64. Запишем уравнение:
$4^x = 64$
$4^x = 4^3$
$x = 3$

Проверим, возведем число 4 в степень 3: $4^3 = 64$.

Вообще любое значение логарифма всегда просто проверить, достаточно число $a$ возвести в степень, равную значению логарифма, и если результат будет равен числу $b$, то ответ верный.

Математические ограничения и виды логарифмов

При решении логарифмов следует учитывать, что числа $a$ и $b$ должны быть больше 0 и $a$ не должно быть равно 1.

$\log_a b$ существует при $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$

Логарифмы, у которых основание $a$ равно 2, 10 или числу $e$, получили свои названия:

$\log_e b$, у которого основание равно числу Эйлера $e$ ($e = 2.7182818284...$), называется – натуральный и обозначается $\ln b$. Например, $\ln 4$ — это то же, что $\log_e 4$, просто сама запись $\ln$ говорит, что основание равно числу $e$, и поэтому запись сокращают.
$\log_{10} b$, у которого основание равно 10, называется – десятичный и обозначается $\lg b$. Например, $\lg 6$, что то же самое, что $\log_{10} 6$.
$\log_2 b$, у которого основание равно 2, называется – двоичный и обозначается $\text{lb } b$, такие логарифмы часто используются в информатике. Например, $\text{lb } 3$, это то же самое, что $\log_2 3$.

Определение знака логарифма

Можно легко определить, является логарифм $\log_a b$ отрицательным или положительным, для этого существует правило: если $a > 1$ и $0 < b < 1$ или $0 < a < 1$ и $b > 1$, тогда логарифм отрицательный, в остальных случаях положительный.

$\log_a b < 0$, если $a > 1$ и $0 < b < 1$ или $0 < a < 1$ и $b > 1$

Например, эти логарифмы будут отрицательными: $\log_{\frac{1}{3}} 4$, $\log_4 \left(\frac{1}{3}\right)$, $\log_{\frac{2}{3}} 5$, $\log_5 \left(\frac{2}{3}\right)$ и т.д. То есть либо $a$, либо $b$ должны быть меньше единицы, но не оба сразу.

Комплексные логарифмы

В рамках базовой школьной программы логарифмы от отрицательных чисел или по отрицательному основанию не рассматриваются, так как на координатной прямой для них нет вещественного значения. Однако современная математика позволяет находить решения и для таких задач с помощью комплексных чисел.

Что такое комплексный логарифм: Это расширение классической функции логарифма на область отрицательных чисел. Результат такого вычисления содержит мнимую единицу $i$, которая определяется фундаментальным математическим равенством $i^2 = -1$.

Когда аргумент логарифма $b$ или его основание $a$ становятся отрицательными, вычисления переходят в плоскость комплексного анализа. Согласно этой теории, любое комплексное значение логарифма выводится в форме $A + B \cdot i$, где:

Вещественная часть ($A$) вычисляется на основе модулей (абсолютных значений) исходных чисел.
Мнимая часть ($B \cdot i$) отражает геометрический поворот на комплексной плоскости, который для отрицательных чисел жестко завязан на константу Пи ($\pi$).

Именно благодаря этому расширению калькулятор может находить строгие ответы для любых знаков входных данных, выводя логарифмические функции за пределы исключительно положительных чисел.