Калькулятор периметра прямоугольника

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(a+b\right)}$

Радиус описанной окружности прямоугольника (R) равен половине длины его диагонали:

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{d}{2}}$

Формула диагонали прямоугольника:

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}}$
Тогда формулу радиуса (R) описанной окружности можно записать как:

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$
Решим уравнение, найдем a и b:

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{4\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}{R}^2-b^2}}$
${\displaystyle b}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{4\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}{R}^2-a^2}}$
Подставим в уравнения периметра выражение для (a) и (b):

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(a+b\right)}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(\left(\sqrt{4\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}{R}^2-b^2}\right)+b\right)}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(\left(\sqrt{4\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}{R}^2-a^2}\right)+a\right)}$
Упростим получившиеся равенства:

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2a+2\sqrt{2R-a}\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\sqrt{2R+a}}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2b+2\sqrt{2R-b}\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\sqrt{2R+b}}$

Из формулы диагонали прямоугольника выразим значения каждой из сторон:

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}}$
${\displaystyle a}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{d^2-b^2}}$
${\displaystyle b}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{d^2-a^2}}$
Подставим в уравнения периметра выражение для (a) и (b):

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(a+b\right)}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(\left(\sqrt{d^2-b^2}\right)+b\right)}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(\left(\sqrt{d^2-a^2}\right)+a\right)}$
Упростим получившиеся равенства:

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2a+2\sqrt{d^2-a^2}}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2b+2\sqrt{d^2-b^2}}$

Выразим из формулы площади (S) прямоугольника значения длин его сторон:

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle a\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}b}$
Решим уравнение, найдем a и b:

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{S}{b}}$
${\displaystyle b}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{S}{a}}$
Подставим в уравнения периметра выражение для (a) и (b):

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(a+b\right)}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(\left(\frac{S}{b}\right)+b\right)}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(\left(\frac{S}{a}\right)+a\right)}$
Упростим получившиеся равенства:

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(a^2+S\right)}{a}}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{2\hspace{0.17em}·\hspace{0.17em}\left(b^2+S\right)}{b}}$