Что такое пятнадцатеричная система счисления
-
Пятнадцатеричная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в пятнадцатеричной системе счисления используется десять цифр и пять букв $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $E12A_{15}$ или $ABCDE_{15}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в пятнадцатеричную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в пятнадцатеричную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $15$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $6598_{10}$ в пятнадцатеричную систему счисления:
$6598 : 15 = 439$, остаток: $13$ ($13 = D$)
$439 : 15 = 29$, остаток: $4$
$29 : 15 = 1$, остаток: $14$ ($14 = E$)
$1 : 15 = 0$, остаток: $1$
$6598_{10} = 1E4D_{15}$
Как перевести десятичную дробь в пятнадцатеричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в пятнадцатеричную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в пятнадцатеричную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $15$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $265.221926_{10}$ в пятнадцатеричную систему счисления:
Переведем целую часть:
$265 : 15 = 17$, остаток: $10$ ($10 = A$)
$17 : 15 = 1$, остаток: $2$
$1 : 15 = 0$, остаток: $1$
$265_{10} = 12A_{15}$
Переведем дробную часть:
$0.221926 \cdot 15 = 3.32889$
$0.32889 \cdot 15 = 4.93335$
$0.93335 \cdot 15 = 14.00025$ ($14 = E$)
$0.00025 \cdot 15 = 0.00375$
$0.00375 \cdot 15 = 0.05625$
$0.05625 \cdot 15 = 0.84375$
$0.84375 \cdot 15 = 12.65625$ ($12 = C$)
$0.65625 \cdot 15 = 9.84375$
$0.84375 \cdot 15 = 12.65625$ ($12 = C$)
$0.65625 \cdot 15 = 9.84375$
$0.221926_{10} = 0.34E000C9C9_{15}$
$265.221926_{10} = 12A.34E000C9C9_{15}$
Пятнадцатеричные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной пятнадцатеричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая пятнадцатеричная дробь, поэтому умножение на $15$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $265.221926$ не может быть точно представлена в пятнадцатеричной системе счисления.
Как перевести число из пятнадцатеричной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из пятнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $15$, так как система счисления 15-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $15$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $AE19_{15}$ в десятичную систему счисления:
Для расчета учитываем, что:
$A_{15} = 10_{10}$
$E_{15} = 14_{10}$
$$\overset{3}{A}\overset{2}{E}\overset{1}{1}\overset{0}{9}_{15} = 10 \cdot 15^{3} + 14 \cdot 15^{2} + 1 \cdot 15^{1} + 9 \cdot 15^{0} = 36924_{10}$$
Как перевести дробное пятнадцатеричное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное пятнадцатеричное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное пятнадцатеричное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $15$, так как система счисления 15-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $15$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное пятнадцатеричное число $20D.AEC_{15}$ в десятичную систему:
Для расчета учитываем, что:
$A_{15} = 10_{10}$
$C_{15} = 12_{10}$
$D_{15} = 13_{10}$
$E_{15} = 14_{10}$
$$\overset{2}{2}\overset{1}{0}\overset{0}{D}.\overset{-1}{A}\overset{-2}{E}\overset{-3}{C}_{15} = 2 \cdot 15^{2} + 0 \cdot 15^{1} + 13 \cdot 15^{0} + 10 \cdot 15^{-1} + 14 \cdot 15^{-2} + 12 \cdot 15^{-3} = 463.7324444444444444444444444442_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в пятнадцатеричной системе счисления