Что такое шестнадцатеричная система счисления
-
Шестнадцатеричная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в шестнадцатеричной системе счисления используется десять цифр и шесть букв $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F$. Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $F245_{16}$ или $123A_{16}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в шестнадцатеричную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в шестнадцатеричную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $16$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $323947_{10}$ в шестнадцатеричную систему счисления:
$323947 : 16 = 20246$, остаток: $11$ ($11 = B$)
$20246 : 16 = 1265$, остаток: $6$
$1265 : 16 = 79$, остаток: $1$
$79 : 16 = 4$, остаток: $15$ ($15 = F$)
$4 : 16 = 0$, остаток: $4$
$323947_{10} = 4F16B_{16}$
Как перевести десятичную дробь в шестнадцатеричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в шестнадцатеричную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в шестнадцатеричную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $16$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $842.990820885_{10}$ в шестнадцатеричную систему счисления:
Переведем целую часть:
$842 : 16 = 52$, остаток: $10$ ($10 = A$)
$52 : 16 = 3$, остаток: $4$
$3 : 16 = 0$, остаток: $3$
$842_{10} = 34A_{16}$
Переведем дробную часть:
$0.990820885 \cdot 16 = 15.85313416$ ($15 = F$)
$0.85313416 \cdot 16 = 13.65014656$ ($13 = D$)
$0.65014656 \cdot 16 = 10.40234496$ ($10 = A$)
$0.40234496 \cdot 16 = 6.43751936$
$0.43751936 \cdot 16 = 7.00030976$
$0.00030976 \cdot 16 = 0.00495616$
$0.00495616 \cdot 16 = 0.07929856$
$0.07929856 \cdot 16 = 1.26877696$
$0.26877696 \cdot 16 = 4.30043136$
$0.30043136 \cdot 16 = 4.80690176$
$0.990820885_{10} = 0.FDA6700144_{16}$
$842.990820885_{10} = 34A.FDA6700144_{16}$
Шестнадцатеричные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной шестнадцатеричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая шестнадцатеричная дробь, поэтому умножение на $16$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $842.990820885$ не может быть точно представлена в шестнадцатеричной системе счисления.
Как перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $16$, так как система счисления 16-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $16$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $AF2D6_{16}$ в десятичную систему счисления:
Для расчета учитываем, что:
$A_{16} = 10_{10}$
$D_{16} = 13_{10}$
$F_{16} = 15_{10}$
$$\overset{4}{A}\overset{3}{F}\overset{2}{2}\overset{1}{D}\overset{0}{6}_{16} = 10 \cdot 16^{4} + 15 \cdot 16^{3} + 2 \cdot 16^{2} + 13 \cdot 16^{1} + 6 \cdot 16^{0} = 717526_{10}$$
Как перевести дробное шестнадцатеричное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное шестнадцатеричное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное шестнадцатеричное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $16$, так как система счисления 16-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $16$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное шестнадцатеричное число $69.F3_{16}$ в десятичную систему:
Для расчета учитываем, что:
$F_{16} = 15_{10}$
$$\overset{1}{6}\overset{0}{9}.\overset{-1}{F}\overset{-2}{3}_{16} = 6 \cdot 16^{1} + 9 \cdot 16^{0} + 15 \cdot 16^{-1} + 3 \cdot 16^{-2} = 105.94921875_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в шестнадцатеричной системе счисления