Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$ и $$\overline{c}$$ – это скалярное произведение вектора $$\overline{a}$$ на векторное произведение векторов $$\overline{b}$$ и $$\overline{c}$$. Смешанное произведение также называют векторно-скалярным.
$$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = \overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{b} \times \overline{c}) \cdot\overline{a} $$
Смешанное произведение обозначается как: $$\overline{abc}$$ или $$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$$
Смешанное произведение трех векторов $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$, $$\overline{c}$$ равно объему параллелепипеда, построенному на векторах $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$, $$\overline{c}$$, при условии, что векторы $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$, $$\overline{c}$$ являются некомпланарными. Если векторы $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$, $$\overline{c}$$ компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
Если векторы $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$ и $$\overline{c}$$ заданы координатами:
$$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y;\,a_z\}$$
$$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y;\,b_z\}$$
$$\overline{c} = \{c_x\,;\,c_y;\,c_z\}$$
Смешанное произведение векторов $$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$$ в ортонормированном базисе в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$, $$\overline{c}$$.
$$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = \begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}=a_{x}\begin{vmatrix}b_{y}&b_{z}\\c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}-a_{y}\begin{vmatrix}b_{x}&b_{z}\\c_{x}&c_{z}\\\end{vmatrix}+a_{z}\begin{vmatrix}b_{x}&b_{y}\\c_{x}&c_{y}\\\end{vmatrix}=$$
$$a_{x}b_{y}c_{z}-a_{x}b_{z}c_{y}-a_{y}b_{x}c_{z}+a_{y}b_{z}c_{x}+a_{z}b_{x}c_{y}-a_{z}b_{y}c_{x}$$
Найдем смешанное произведение векторов.
$$\overline{a}\{a_x\,;\,a_y;\,a_z\} = \overline{a}\left\{1\,;\,-\frac{3}{7};\,9\right\}$$
$$\overline{b}\{b_x\,;\,b_y;\,b_z\} = \overline{b}\left\{\frac{1}{2}\,;\,3;\,0\right\}$$
$$\overline{c}\{c_x\,;\,c_y;\,c_z\} = \overline{c}\left\{\frac{1}{3}\,;\,-2;\,7\right\}$$
Смешанное произведение векторов $$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$$ в ортонормированном базисе в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$, $$\overline{c}$$.
$$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = \begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}=a_{x}\begin{vmatrix}b_{y}&b_{z}\\c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}-a_{y}\begin{vmatrix}b_{x}&b_{z}\\c_{x}&c_{z}\\\end{vmatrix}+a_{z}\begin{vmatrix}b_{x}&b_{y}\\c_{x}&c_{y}\\\end{vmatrix}=$$
$$a_{x}b_{y}c_{z}-a_{x}b_{z}c_{y}-a_{y}b_{x}c_{z}+a_{y}b_{z}c_{x}+a_{z}b_{x}c_{y}-a_{z}b_{y}c_{x}$$
$$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = \begin{vmatrix}1&-\frac{3}{7}&9\\\frac{1}{2}&3&0\\\frac{1}{3}&-2&7\\\end{vmatrix}=1\begin{vmatrix}3&0\\-2&7\\\end{vmatrix}-\left(-\frac{3}{7}\right)\begin{vmatrix}\frac{1}{2}&0\\\frac{1}{3}&7\\\end{vmatrix}+9\begin{vmatrix}\frac{1}{2}&3\\\frac{1}{3}&-2\\\end{vmatrix}=$$
$$\left(1 \cdot 3 \cdot 7\right)-\left(1 \cdot 0 \cdot \left(-2\right)\right)-\left(-\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2} \cdot 7\right)+\left(-\frac{3}{7} \cdot 0 \cdot \frac{1}{3}\right)+\left(9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-2\right)\right)-\left(9 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}\right)= \frac{9}{2}=4.5$$
$$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = \frac{9}{2}=4.5$$