Калькулятор коллинеарности векторов

Уведомление

Мы и выбранные партнеры используем файлы «cookie» или аналогичные технологии, указанные в политике в отношении файлов «cookie».
Вы можете дать согласие на использование таких технологий, прокручивая эту страницу, используя любую ссылку или кнопку за пределами этого уведомления или продолжая просматривать материалы иным способом.
Дополнительно о категориях собираемой личной информации и целях, в которых такая информация будет использоваться, см. в наших правилах обеспечения конфиденциальности персональных данных.

Уведомление для калифорнийских потребителей

0
AC +/- ÷
7 8 9 ×
4 5 6 -
1 2 3 +
0 00 , =

Калькулятор коллинеарности векторов

Данный калькулятор проверит являются два вектора коллинеарными (параллельными). Форма представления векторов может быть, как координатная, так и задана точками. Результат вычисления включает подробное пошаговое решение, а также теоретическую часть.


Коллинеарность векторов — это отношение параллельности векторов, так два ненулевых вектора являются коллинеарными (параллельными), если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.


Укажите размерность пространства
Укажите форму представления первого вектора
Укажите форму представления второго вектора

Задайте координаты первого вектора
a̅ = { ; }


Задайте координаты второго вектора
b̅ = { ; }



Как проверить являются ли два вектора коллинеарными (параллельными)

Если два ненулевых вектора $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то такие векторы называются – коллинеарными.

Сонаправленные векторы $$\overline{a}\mathrel{\uparrow\uparrow}\overline{b}$$ – одинаково направленные коллинеарные векторы.

Антиколлинеарные векторы $$\overline{a}\mathrel{\uparrow\downarrow}\overline{b}$$ – противоположено направленные коллинеарные векторы.

Коллинеарные векторы обозначаются как: $$\overline{a}\parallel\overline{b}$$.


Определить что векторы $$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y;\,a_z\}$$ и $$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y;\,b_z\}$$ являются коллинеарными можно если вычислить их векторное произведение. Если все координаты векторного произведения векторов равны нулю, то векторы коллинеарны.

Например, найдем векторное произведение векторов $$\overline{a} = \left\{6\, ; \,10\, ; \,20\right\}$$ и $$\overline{b} = \left\{3\, ; \,5\, ; \,10\right\}$$

$$\overline{a} = \left\{6\, ; \,10\, ; \,20\right\}$$
$$\overline{b} = \left\{3\, ; \,5\, ; \,10\right\}$$

В правом ортонормированном базисе векторное произведение векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ вычисляется по формуле:
$$\overline{a} \times \overline{b} = \{ a_y b_z - a_z b_y \, ; \, a_z b_x - a_x b_z \, ; \, a_x b_y - a_y b_x\}$$
$$\overline{a} \times \overline{b} = $$$$\left\{\left(10 \cdot 10 \right) - \left(20 \cdot 5 \right)\, ; \,\left(20 \cdot 3 \right) - \left(6 \cdot 10 \right)\, ; \, \left(6 \cdot 5 \right) - \left(10 \cdot 3 \right)\right\} = $$$$\left\{0\, ; \,0\, ; \,0\right\}$$
$$\overline{a} \times \overline{b} = $$$$\left\{0\, ; \,0\, ; \,0\right\}$$
Все координаты векторного произведения векторов равны нулю, следовательно, векторы $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ коллинеарны.

Векторы $$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y\}$$ и $$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y\}$$ коллинеарны если определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю:

$$ \begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\\\end{vmatrix} = 0$$

Например, найдем векторное произведение векторов $$\overline{a} = \left\{6\, ; \,10\right\}$$ и $$\overline{b} = \left\{3\, ; \,5\right\}$$

Для матрицы размерности 2 × 2 значение определителя вычисляется по формуле:
$$det A = \begin{vmatrix}a&c\\b&d\\\end{vmatrix} = ad - bc$$
$$det A = \begin{vmatrix}6&10\\3&5\\\end{vmatrix} = \left(6 \cdot 5\right) - \left(3 \cdot 10\right) = 0$$
Определитель равен нулю, следовательно, векторы $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ коллинеарны.

Условия коллинеарности векторов

Для векторов $$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y\}$$ и $$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y\}$$ определить являются ли векторы коллинеарными можно если координаты векторов связаны отношением:

Условие коллинеарности векторов
Условие коллинеарности векторов
$$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y\}$$
$$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y\}$$
$$q$$ – коэффициент пропорциональности
Условие коллинеарности векторов
Условие коллинеарности векторов
$$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y;\,a_z\}$$
$$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y;\,b_z\}$$
$$q$$ – коэффициент пропорциональности

Если коэффициент пропорциональности $$q > 0$$, то векторы $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ сонаправленны.
Если коэффициент пропорциональности $$q < 0$$, то векторы $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ антиколлинеарные, т.е. противоположно направлены.

Чтобы проверить выполняется ли равенство необходимо составить систему уравнений и вычислить коэффициент пропорциональности $$q$$ в каждом уравнении:

Условие коллинеарности векторов
$$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y\}$$
$$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y\}$$
$$q$$ – коэффициент пропорциональности

Если в первом и во втором уравнении коэффициенты пропорциональности $$q$$ равны, то координаты векторов пропорциональны и векторы коллинеарны.

Условие коллинеарности векторов
$$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y;\,a_z\}$$
$$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y;\,b_z\}$$
$$q$$ – коэффициент пропорциональности

Если в первом, втором и в третьем уравнении коэффициенты пропорциональности $$q$$ равны, то координаты векторов пропорциональны и векторы коллинеарны.


Пример 1. Определим, являются ли два вектора плоскости $$\overline{a}\{a_x\,;\,a_y\} = \overline{a}\left\{2\,;\,-12\right\}$$ и $$\overline{b}\{b_x\,;\,b_y\} = \overline{b}\left\{0\,;\,5\right\}$$ коллинеарными (параллельными).

Проверим, есть ли для векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ коэффициент пропорциональности $$q$$ (имеющий одинаковое значение для всех уравнений в системе), для этого составим систему и проверим выполняется ли равенство:
$$\overline{a}\{a_x\,;\,a_y\} = \overline{a}\left\{2\,;\,-12\right\}$$
$$\overline{b}\{b_x\,;\,b_y\} = \overline{b}\left\{0\,;\,5\right\}$$
$$\begin{cases}a_x=q\cdot b_x\\[10pt]a_y=q\cdot b_y\end{cases}$$
$$\begin{cases}2=q\cdot 0\\[10pt]-12=q\cdot 5\rightarrow q=-\frac{12}{5}\end{cases}$$
Сделаем проверку, подставим значение коэффициента $$q$$ в уравнения системы:
$$\overline{a}$$$$ \,\nparallel\, $$$$\overline{b}$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases}2\neq-\frac{12}{5}\cdot 0\\[10pt]-12=-\frac{12}{5}\cdot 5\end{cases}$$
Коэффициент пропорциональности $$q$$ не имеет одинаковое значение во всех уравнениях системы. Следовательно, система несовместима и не имеет решений. Координаты векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ не пропорциональны, значит векторы $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ не коллинеарны.

Пример 2. Определим, являются ли два вектора пространства $$\overline{a}\{a_x\,;\,a_y\,;\,a_z\} = \overline{a}\left\{-3\,;\,2\,;\,0\right\}$$ и $$\overline{b}\{b_x\,;\,b_y\,;\,b_z\} = \overline{b}\left\{-1\,;\,-7\,;\,9\right\}$$ коллинеарными (параллельными).

Проверим, есть ли для векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ коэффициент пропорциональности $$q$$ (имеющий одинаковое значение для всех уравнений в системе), для этого составим систему и проверим выполняется ли равенство:
$$\overline{a}\{a_x\,;\,a_y\,;\,a_z\} = \overline{a}\left\{-3\,;\,2\,;\,0\right\}$$
$$\overline{b}\{b_x\,;\,b_y\,;\,b_z\} = \overline{b}\left\{-1\,;\,-7\,;\,9\right\}$$
$$\begin{cases}a_x=q\cdot b_x\\[10pt]a_y=q\cdot b_y\\[10pt]a_z=q\cdot b_z\end{cases}$$
$$\begin{cases}q = \dfrac{a_x}{b_x}= \dfrac{-3}{-1}\\[10pt]q = \dfrac{a_y}{b_y}=\dfrac{2}{-7}\\[10pt]q = \dfrac{a_z}{b_z}=\dfrac{0}{9}\end{cases}$$
$$\overline{a}$$$$ \,\nparallel\, $$$$\overline{b}$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases}q = 3\\[10pt]q = -\frac{2}{7}\\[10pt]q = 0\end{cases}$$
Коэффициент пропорциональности $$q$$ не имеет одинаковое значение во всех уравнениях системы. Следовательно, система несовместима и не имеет решений. Координаты векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ не пропорциональны, значит векторы $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ не коллинеарны.
Вам могут также быть полезны следующие сервисы
Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
Калькулятор сложения и вычитания матриц
Калькулятор умножения матриц
Калькулятор транспонирование матрицы
Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
Калькулятор нахождения обратной матрицы
Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
Калькулятор сложения и вычитания векторов
Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
Калькулятор смешанного произведения векторов
Калькулятор умножения вектора на число
Калькулятор нахождения угла между векторами
Калькулятор проверки коллинеарности векторов
Калькулятор проверки компланарности векторов
Калькуляторы (Комбинаторика)
Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
Калькуляторы систем счисления
Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
Системы счисления теория
N2 | Двоичная система счисления
N3 | Троичная система счисления
N4 | Четырехичная система счисления
N5 | Пятеричная система счисления
N6 | Шестеричная система счисления
N7 | Семеричная система счисления
N8 | Восьмеричная система счисления
N9 | Девятеричная система счисления
N11 | Одиннадцатиричная система счисления
N12 | Двенадцатеричная система счисления
N13 | Тринадцатеричная система счисления
N14 | Четырнадцатеричная система счисления
N15 | Пятнадцатеричная система счисления
N16 | Шестнадцатеричная система счисления
N17 | Семнадцатеричная система счисления
N18 | Восемнадцатеричная система счисления
N19 | Девятнадцатеричная система счисления
N20 | Двадцатеричная система счисления
N21 | Двадцатиодноричная система счисления
N22 | Двадцатидвухричная система счисления
N23 | Двадцатитрехричная система счисления
N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
N25 | Двадцатипятеричная система счисления
N26 | Двадцатишестеричная система счисления
N27 | Двадцатисемеричная система счисления
N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
N30 | Тридцатиричная система счисления
N31 | Тридцатиодноричная система счисления
N32 | Тридцатидвухричная система счисления
N33 | Тридцатитрехричная система счисления
N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
N35 | Тридцатипятиричная система счисления
N36 | Тридцатишестиричная система счисления
Дроби
Калькулятор интервальных повторений
Учим дроби наглядно
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
Калькулятор возведения дроби в степень
Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
Калькулятор сравнения дробей
Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
Калькуляторы (тригонометрия)
Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла
Калькулятор секанса угла
Калькулятор косеканса угла
Калькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла
Калькулятор арксеканса угла
Калькулятор арккосеканса угла
Калькулятор нахождения наименьшего угла
Калькулятор определения вида угла
Калькулятор смежных углов
Калькуляторы (Теория чисел)
Калькулятор выражений
Калькулятор упрощения выражений
Калькулятор со скобками
Калькулятор уравнений
Калькулятор суммы
Калькулятор пределов функций
Калькулятор разложения числа на простые множители
Калькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
Калькулятор делителей числа
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
Калькулятор деления числа в данном отношении
Калькулятор процентов
Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
Калькулятор экспоненциальной записи чисел
Калькулятор нахождения факториала числа
Калькулятор нахождения логарифма числа
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор остатка от деления
Калькулятор корней с решением
Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
Калькулятор больших чисел
Калькулятор округления числа
Калькулятор свойств корней и степеней
Калькулятор комплексных чисел
Калькулятор среднего арифметического
Калькулятор арифметической прогрессии
Калькулятор геометрической прогрессии
Калькулятор модуля числа
Калькулятор абсолютной погрешности приближения
Калькулятор абсолютной погрешности
Калькулятор относительной погрешности
Калькуляторы по геометрии
Калькуляторы площади
Калькулятор площади геометрических фигур
Калькулятор площади квадрата
Калькулятор площади прямоугольника
Калькулятор площади треугольника
Калькулятор площади окружности
Калькулятор площади эллипса
Калькулятор площади трапеции
Калькулятор площади правильного многоугольника
Калькулятор площади параллелограмма
Квадрат
Калькулятор стороны квадрата
Калькулятор диагонали квадрата
Калькулятор периметра квадрата
Калькулятор радиуса вписанной окружности в квадрат
Калькулятор радиуса описанной окружности квадрата
Прямоугольник
Калькулятор сторон прямоугольника
Калькулятор стороны прямоугольника
Калькулятор периметра прямоугольника
Калькулятор диагонали прямоугольника
Калькулятор радиуса описанной окружности прямоугольника
Калькулятор углов прямоугольника через диагонали
Треугольник
Генератор треугольников
Калькулятор сторон треугольника
Калькулятор углов треугольника
Калькулятор полупериметра треугольника
Калькулятор высоты треугольника
Калькулятор медианы треугольника
Калькулятор биссектрисы треугольника
Калькулятор радиуса вписанной окружности в треугольник
Калькулятор радиуса описанной окружности треугольника
Калькулятор радиуса вневписанной окружности треугольника
Окружность
Калькулятор длины окружности
Калькулятор радиуса окружности
Калькулятор диаметра окружности
Эллипс
Калькулятор радиуса эллипса
КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
Генератор Pdf с примерами
Тренажёры решения примеров
Тренажер по математике
Тренажёр таблицы умножения
Тренажер счета для дошкольников
Тренажер счета на внимательность для дошкольников
Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
Тренажер решения примеров с разными действиями
Тренажёры решения столбиком
Тренажёр сложения столбиком
Тренажёр вычитания столбиком
Тренажёр умножения столбиком
Тренажёр деления столбиком с остатком
Калькуляторы решения столбиком
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
Калькулятор деления столбиком с остатком
Конвертеры величин
Конвертер единиц длины
Конвертер единиц скорости
Конвертер единиц ускорения
Цифры в текст
Калькуляторы (физика)
Механика
Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
Калькулятор вычисления времени движения
Калькулятор времени
Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения
Оптика
Калькулятор отражения и преломления света
Электричество и магнетизм
Калькулятор Закона Ома
Калькулятор Закона Кулона
Калькулятор напряженности E электрического поля
Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы
Конденсаторы
Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькуляторы по астрономии
Вес тела на других планетах
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
Генераторы
Генератор примеров по математике
Генератор случайных чисел
Генератор паролей