Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Выберите количество дробей, затем введите их числители и знаменатели (целую часть заполняйте только при необходимости). Используйте целые положительные числа и ноль.

Дробь 1

Дробь 2

Выберите количество дробей

Показать ход решения

Результат

$$3\frac{40}{56},\,1\frac{7}{56}$$

Исходные дроби

$$3\frac{5}{7},\,1\frac{2}{16}$$

Решение

Шаг 1. Перед приведением к общему знаменателю упростим исходные дроби (сократим их):

Вторая дробь: найдем наибольший общий делитель (НОД) её числителя (2) и знаменателя (16). Наибольшее число, на которое они оба делятся без остатка — это 2:

$$\mathop{\text{НОД}}(2,\,16) = 2$$

Разделим числитель и знаменатель второй дроби на найденный НОД (2):

$$1\frac{2}{16} = 1\frac{2 : \textcolor{#ff7e0f}{2}}{16 : \textcolor{#ff7e0f}{2}} = 1\frac{1}{8}$$

Шаг 2. Для дробей $$3\frac{5}{7},\,1\frac{1}{8}$$ найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей (7, 8):

$$\mathop{\text{НОЗ}}(7,\,8) = 56$$

Шаг 3. Найдем дополнительные множители для каждой дроби (разделим полученный наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей):

Для первой дроби: $$56 : \textcolor{#0000ff}{7} = \mathbf{8}$$
Для второй дроби: $$56 : \textcolor{#008000}{8} = \mathbf{7}$$

Шаг 4. Вспомним правило: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, мы получим дробь, равную исходной. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на найденный для неё дополнительный множитель:

Первая дробь: $$3\frac{5}{\textcolor{#0000ff}{7}} = 3\frac{5 \cdot \textcolor{#0000ff}{8}}{\textcolor{#0000ff}{7} \cdot \textcolor{#0000ff}{8}} = 3\frac{40}{56}$$

Вторая дробь: $$1\frac{1}{\textcolor{#008000}{8}} = 1\frac{1 \cdot \textcolor{#008000}{7}}{\textcolor{#008000}{8} \cdot \textcolor{#008000}{7}} = 1\frac{7}{56}$$

В результате получаем дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю:

$$3\frac{40}{56},\,1\frac{7}{56}$$

О калькуляторе

Этот калькулятор предназначен для приведения обыкновенных дробей и смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Он последовательно расписывает каждый этап вычислений и выводит подробное решение по шагам.

Возможности калькулятора:

Автоматическое приведение к единому знаменателю от 2 до 4 дробей одновременно.
Предварительное сокращение дробных частей через НОД и перевод целых чисел в вид дробей со знаменателем 1 с подробным объяснением.
Пошаговое нахождение НОЗ через наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
Расчет дополнительных множителей и построчное умножение числителей и знаменателей с цветной подсветкой.

Правила ввода данных:

Выберите необходимое количество дробей (2, 3 или 4) в выпадающем списке.
В поля числителя, знаменателя и целой части вводите только целые положительные числа и ноль. Ввод отрицательных значений не поддерживается.

Теория: Приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю требуется перед выполнением их сравнения, сложения или вычитания. Математическая суть этого действия заключается в замене данных дробей равными им дробями, имеющими равные знаменатели.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее натуральное число, которое делится на знаменатель каждой из данных дробей без остатка. Наименьший общий знаменатель всегда равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей этих дробей.

В основе этого преобразования лежит основное свойство дроби: если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Это число называют дополнительным множителем.

Правила приведения дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести обыкновенные дроби к наименьшему общему знаменателю, выполняют три последовательных шага:

Сократить исходные дроби, если это возможно. Если числитель и знаменатель дроби имеют общие делители, отличные от единицы, их следует предварительно сократить. Это позволяет выполнять дальнейшие вычисления с меньшими числами.
Найти наименьший общий знаменатель. Для этого вычисляют наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей всех полученных после упрощения дробей.
Вычислить дополнительные множители и преобразовать дроби. Наименьший общий знаменатель поочередно делят на знаменатель каждой дроби, находят дополнительные множители, а затем умножают на них числитель и знаменатель каждой дроби.

Пример выполнения преобразования

Приведём к наименьшему общему знаменателю три дроби: $$ \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{3}{12} $$

1. Предварительное сокращение. Сначала проверим дроби на возможность упрощения. Числитель и знаменатель третьей дроби имеют наибольший общий делитель — число 3. После сокращения получаем дробь $$ \frac{1}{4} $$. Дальнейшие действия выполняются со следующими дробями: $$ \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{1}{4} $$

2. Поиск общего знаменателя. Далее находим наименьшее общее кратное их знаменателей — чисел 2, 3 и 4. Наименьшим натуральным числом, которое делится на них без остатка, является число 12. Следовательно: $$ \text{НОЗ}(2, 3, 4) = 12 $$

3. Определение дополнительных множителей. Поочередно разделяем найденный наименьший общий знаменатель на знаменатель каждой дроби:

Для первой дроби: $$ 12 : 2 = 6 $$
Для второй дроби: $$ 12 : 3 = 4 $$
Для третьей дроби: $$ 12 : 4 = 3 $$

4. Преобразование числителей и знаменателей. На основании основного свойства дроби умножаем числители и знаменатели на полученные дополнительные множители:

$$ \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} $$

$$ \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} $$

$$ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $$

В результате выполненных преобразований исходные дроби приведены к наименьшему общему знаменателю.