Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Как вычислить скалярное произведение векторов через координаты

Скалярным произведением двух векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ – называется сумма произведений координат данных векторов:

Если $$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y\}$$ и $$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y\}$$, тогда:
$$ \overline{a} \cdot \overline{b} = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}$$

Если $$\overline{a} = \{a_x\,;\,a_y\,;\,a_z\}$$ и $$\overline{b} = \{b_x\,;\,b_y\,;\,b_z\}$$, тогда:
$$ \overline{a} \cdot \overline{b} = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}$$

Если координаты векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ заданы точками, а именно:

Вектор $$\overline{a}$$ задан точками $$A$$ и $$B$$, где
$$A = (A_x\,;\,A_y)$$
$$B = (B_x\,;\,B_y)$$

Вектор $$\overline{b}$$ задан точками $$C$$ и $$D$$, где
$$C = (C_x\,;\,C_y)$$
$$D = (D_x\,;\,D_y)$$

то скалярное произведение определяется как:
$$ \overline{a} \cdot \overline{b} = (B_x - A_x)(D_x - C_x) + (B_y - A_y)(D_y - C_y)$$

Если координаты векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ заданы точками, а именно:

Вектор $$\overline{a}$$ задан точками $$A$$ и $$B$$, где
$$A = (A_x\,;\,A_y\,;\,A_z)$$
$$B = (B_x\,;\,B_y\,;\,B_z)$$

Вектор $$\overline{b}$$ задан точками $$C$$ и $$D$$, где
$$C = (C_x\,;\,C_y\,;\,C_z)$$
$$D = (D_x\,;\,D_y\,;\,D_z)$$

то скалярное произведение определяется как:
$$ \overline{a} \cdot \overline{b} = (B_x - A_x)(D_x - C_x) + (B_y - A_y)(D_y - C_y) + (B_z - A_z)(D_z - C_z)$$

Примеры вычисления скалярного произведения векторов по координатам

Пример 1. Найдем скалярное произведение векторов плоскости.

Пример 2. Найдем скалярное произведение векторов пространства.

Координаты вектора $$\overline{a} = \left\{5\, ; \,1\, ; \,7\right\}$$
Координаты вектора $$\overline{a} = \left\{2\, ; \,4\, ; \,6\right\}$$

Пример 3. Найдем скалярное произведение векторов плоскости, координаты которых заданы точками.

Вектор $$\overline{a}$$ задан точками $$A$$ и $$B$$, где
$$A = (5\,;\,9)$$
$$B = (-2\,;\,11)$$

Вектор $$\overline{b}$$ задан точками $$C$$ и $$D$$, где
$$C = (0\,;\,12)$$
$$D = (-3\,;\,1)$$

Воспользуемся формулой: $$ \overline{a} \cdot \overline{b} = (B_x - A_x)(D_x - C_x) + (B_y - A_y)(D_y - C_y)$$ тогда,
$$ \overline{a} \cdot \overline{b} = (-2 - 5)\cdot(-3 - 0) + (11 - 9)\cdot(1 - 12) = -1$$

Этот пример можно решить по-другому, вычислив сначала координаты векторов по точкам, а затем зная координаты вычислить скалярное произведение:

Пример 4. Найдем скалярное произведение векторов пространства. Координаты обоих векторов заданны точками.

Вектор $$\overline{a}$$ задан точками $$A$$ и $$B$$, где
$$A = (-1\,;\,3,;\,7)$$
$$B = (4\,;\,8\,;\,-3)$$

Вектор $$\overline{b}$$ задан точками $$C$$ и $$D$$, где
$$C = (-5\,;\,2\,;\,1)$$
$$D = (13\,;\,1\,;\,4)$$

Воспользуемся формулой:
$$ \overline{a} \cdot \overline{b} = (B_x - A_x)(D_x - C_x) + (B_y - A_y)(D_y - C_y) + (B_z - A_z)(D_z - C_z)$$
$$ \overline{a} \cdot \overline{b} = (4 - (-1))\cdot(13 - (-5)) + (8 - 3)\cdot(1 - 2) + (-3 - 7)\cdot(4 - 1) = 55$$

Как в предыдущем примере решим пример иначе, сначала вычислив координаты векторов по точкам: