0
AC		()	÷
7	8	9	×
4	5	6	-
1	2	3	+
0	00	,	=

Свойства корней и степеней. Калькулятор онлайн.

Калькулятор свойств корней и степеней прежде всего предназначен, чтобы показать, как на практике реализуется то или иное свойство, как корня, так и степени. К каждому свойству приведено описание, формула и область определения чисел. Чтобы воспользоваться калькулятором просто заполните поля значениями в правой, либо в левой части равенства. Калькулятор отображает подробное, развернутое решение для каждого свойства.

Десятичные дроби	Ввод
$$3,9$$	3.9
$$6,012$$	6.012
$$0,209$$	0.209
Обыкновенные дроби
$$\dfrac{2}{3}$$	2/3
$$\dfrac{15}{7}$$	15/7
$$\dfrac{1}{9}$$	1/9
Возведение в степень
$${3}^{2}$$	3^2
$${{2}^{3}}^{4}$$	(2^3)^4
$$\left({\dfrac{2}{3}}\right)^{8}$$	(2/3)^8
Квадратный корень
$$\sqrt{2}$$	sqrt(2)
$$\sqrt{\dfrac{9}{15}}$$	sqrt(9/15)
$$\left(\sqrt{\dfrac{6}{7}}\right)^{3}$$	(sqrt(6/7))^3
$$2\sqrt{5}$$	2*sqrt(5)
$$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$$	(1/2)*sqrt(3)
Число π
$$\pi$$	pi
$$2\pi$$	2pi
$$\dfrac{3\pi}{2}$$	3pi/2
Число Эйлера e
$$e$$	Для записи числа Эйлера введите e
$${e}^{\left(\dfrac{1}{3}\right)}$$	e^(1/3)
Натуральный логарифм ln
$$\ln{3}$$	ln(3)
$$\ln{\dfrac{1}{2}}$$	ln(1/2)
$$\sqrt{\ln{5}}$$	sqrt(ln(5))
Экспоненциальная запись чисел
$$2.3e+15$$	2.3e+15
$$2.45e-35$$	2.45e-35
Абсолютная величина (модуль)
$$\lvert -5 \rvert$$	abs(-5)
$$\lvert \sqrt{2}-7 \rvert$$	abs(sqrt(2)-7)
Тригонометрические функции
Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sin(45°), тогда sin(45*pi/180).
Синус sin(x)	sin(x)
Косинус cos(x)	cos(x)
Тангенс tg(x), tan(x)	tan(x)
Котангенс ctg(x), cot(x)	cot(x)
Секанс sec(x)	sec(x)
Косеканс csc(x), cosec(x)	csc(x)
Гиперболические функции
Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sinh(45°), тогда sinh(45*pi/180).
Гиперболический синус sh(x), sinh(x)	sinh(x)
Гиперболический косинус ch(x), cosh(x)	cosh(x)
Гиперболический тангенс th(x), tanh(x)	tanh(x)
Гиперболический котангенс cth(x), coth(x)	coth(x)
Гиперболический секанс sch(x), sech(x)	sech(x)
Гиперболический косеканс csch(x), csch(x)	csch(x)
Обратные тригонометрические функции
Арксинус arcsin(x)	asin(x)
Арккосинус arccos(x)	acos(x)
Арктангенс arctg(x), arctan(x)	atan(x)
Арккотангенс arcctg(x), arccot(x)	acot(x)
Арксеканс arcsec(x)	asec(x)
Арккосеканс arccsc(x)	acsc(x)
Обратные гиперболические функции
Ареасинус arsh(x), arsinh(x), sin⁻¹	asinh(x)
Ареакосинус arch(x), arcosh(x), cosh⁻¹	acosh(x)
Ареатангенс arth(x), artanh(x), tanh⁻¹	atanh(x)
Ареакотангенс arcth(x), arcoth(x), coth⁻¹	acoth(x)
Ареасеканс arsch(x), arsech(x), sech⁻¹	asech(x)
Ареакосеканс arcsch(x), csch⁻¹	acsch(x)
Математические выражения
$$\dfrac{3}{\sqrt{2}} + \left({\dfrac{3}{2}}\right)^{5}$$	3/sqrt(2)+(3/2)^5
$$\dfrac{3}{\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{12}-\dfrac{4}{3}}$$	3/(sqrt(2)*(1/12)-3/4)
$${\left(\dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{2} - 5\right)}^{\dfrac{1}{2}}$$	(5/12 + 3/2 - 5)^(1/2)
$$6-7\cos{\frac{3\pi}{2}}^{2}$$	6-7cos(3pi/2)^2

Свойство №1 Возвести число a в степень k/n - означает извлечь корень степени n из числа a в степени k.

a ⩾ 0
n ⩾ 2, n ∈ N, N = {1, 2, 3...}
k ∈ Z, Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

$$\sqrt[2]{{3}^{1}}={3}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}=1.73205080756888$$

Свойство №2 Степень числа a с отрицательным показателем, есть единица деленная на степень того же числа с положительным показателем.

a ∈ R
n ∈ R

= 1

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-4}=\dfrac{1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^{4}}=\frac{81}{16}=5.0625$$

Свойство №3 Извлечение корня степени n из произведения чисел a и b, можно представить как произведение корня степени n из a, и корня степени n из b.

a ⩾ 0
b ⩾ 0
n ⩾ 2, n ∈ N, N = {1, 2, 3...}

= ⋅

⋅

$$\sqrt[2]{3\cdot4}=\sqrt[2]{3}\cdot\sqrt[2]{4}=\sqrt{12}=3.46410161513775$$

Свойство №4 Извлечение корня степени n из корня степени k из a, можно представить как корень, степени n на k из a.

a ⩾ 0
n ⩾ 2, n ∈ N, N = {1, 2, 3...}
k ⩾ 2, k ∈ N, N = {1, 2, 3...}

= ⋅

$$\sqrt[3]{\sqrt[4]{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3\,\cdot\,4]{\frac{1}{2}}=\sqrt[12]{\frac{1}{2}}=\sqrt[12]{\frac{1}{2}}=0.943874312681694$$

Свойство №5 Число a в степени n + k, можно представить как произведение чисел: a в степени n на а в степени k.

Число a в степени n + k, можно представить как произведение чисел: a в степени n и а в степени k.

a ∈ R
n ∈ Q
k ∈ Q

⋅ = +

$${\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^{6}\cdot{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^{-3}={\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^{6 + \left(-3\right)}={\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^{3}={3}^{-\frac{3}{2}}=0.192450089729875$$

Свойство №6 Число a в степени n - k, можно представить как отношение чисел: a в степени n к а в степени k.

a ∈ R
n ∈ Q
k ∈ Q

: = −

$$\dfrac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-5}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-5 - 3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-8}=256$$

Свойство №7 При возведении числа a в степени n в степень k, основание a остается прежним, а показатели степеней k и n перемножаются.

a ∈ R
n ∈ Q
k ∈ Q

= ⋅

$${\left({\left(2.069\right)}^{-3}\right)}^{-2}={\left(2.069\right)}^{-3\, \cdot \,\left(-2\right)}={\left(2.069\right)}^{6}=78.4445803435543$$

Свойство №8 Произведение чисел a и b в степени n, можно представить как произведение числа a в степени n и числа b в степени n.

a ∈ R
b ∈ R
n ∈ Q

⋅

= ⋅

$${\left(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)\right)}^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}\cdot{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{1}{6}\right)}^{-2}=36$$

Свойство №9 Отношение чисел a и b в степени n, можно представить как отношение числа a в степени n к числу b в степени n.