Как транспонировать матрицу
Матрица размерности m × n – это таблица чисел у которой m строк и n столбцов.
Элементы матрицы обозначаются как aij, где i – номер строки, j – номер столбца.
Транспонированная матрица для матрицы $$A$$ обозначается $$A^T$$
Транспонированная матрица $$A^T$$ для матрицы $$A$$ - это матрица, полученная путем замены строк матрицы $$A$$ на соответствующие столбцы. Другими словами, элемент, расположенный в i-й строке и j-м столбце матрицы $$A$$, становится элементом j-й строки и i-го столбца транспонированной матрицы $$A^T$$.
$$A_{ij}^T=A_{ji}$$
При транспонировании матрицы $$A$$ размерности m × n получаем матрицу $$A^T$$ размерности n × m.
Приведем пример, транспонируем матрицу $$A$$ размеров 2 × 3.
$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{bmatrix}$$
$$A^T=\begin{bmatrix}a_{11}^{T}=a_{11}&a_{12}^{T}=a_{21}\\a_{21}^{T}=a_{12}&a_{22}^{T}=a_{22}\\a_{31}^{T}=a_{13}&a_{32}^{T}=a_{23}\\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{bmatrix}$$
$$A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{bmatrix}$$
Приведем еще пример, транспонируем матрицу $$A$$ размеров 5 × 3.
$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\\a_{51}&a_{52}&a_{53}\\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\\13&14&15\\\end{bmatrix}$$
$$A^T=\begin{bmatrix}a_{11}^{T}=a_{11}&a_{12}^{T}=a_{21}&a_{13}^{T}=a_{31}&a_{14}^{T}=a_{41}&a_{15}^{T}=a_{51}\\a_{21}^{T}=a_{12}&a_{22}^{T}=a_{22}&a_{23}^{T}=a_{32}&a_{24}^{T}=a_{42}&a_{25}^{T}=a_{52}\\a_{31}^{T}=a_{13}&a_{32}^{T}=a_{23}&a_{33}^{T}=a_{33}&a_{34}^{T}=a_{43}&a_{35}^{T}=a_{53}\\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&4&7&10&13\\2&5&8&11&14\\3&6&9&12&15\\\end{bmatrix}$$
$$ A^T=\begin{bmatrix}1&4&7&10&13\\2&5&8&11&14\\3&6&9&12&15\\\end{bmatrix}$$