Теория: Что такое арктангенс Арктангенс числа — это угол (или дуга), тангенс которого равен данному числу. Математически это означает, что если $$\operatorname{tg} \alpha = x$$, то $$\operatorname{arctg} x = \alpha$$. Результатом вычисления арктангенса по умолчанию является угол в радианах. Если итоговый результат требуется получить в градусах, полученное радианное значение необходимо перевести по формуле: $$\alpha^\circ = \alpha \cdot \frac{180}{\pi}$$. Варианты обозначения функции В зависимости от математической школы и области применения, функция арктангенса имеет существенно различающиеся формы записи, особенно между отечественной и зарубежной традициями: $$\operatorname{arctg} x$$ — традиционное отечественное обозначение, принятое в российской учебной литературе и странах СНГ. $$\operatorname{arctan} x$$ или $$\operatorname{atan}(x)$$ — международные обозначения функции арктангенса, являющиеся стандартом в зарубежной литературе, языках программирования и электронных таблицах. $$\tan^{-1}(x)$$ или $$\operatorname{tg}^{-1}(x)$$ — англоязычные формы записи обратной функции, встречающиеся в иностранных учебниках и инженерных калькуляторах, где индекс $$-1$$ указывает на обратную операцию к тангенсу. Ключевые свойства функции арктангенса Математические закономерности, ограничения и особенности поведения функции: Область определения: функция определена для любого действительного аргумента. Записывается как $$D(\operatorname{arctg}) = (-\infty; +\infty)$$. Это означает, что математически арктангенс существует от абсолютно любого числа, и результат всегда находится на множестве действительных чисел. Область значений: результатом функции всегда является угол, строго ограниченный в пределах от $$-\frac{\pi}{2}$$ до $$\frac{\pi}{2}$$ радиан (в градусной мере: от $$-90^\circ$$ до $$90^\circ$$), исключая сами граничные точки. Записывается как $$E(\operatorname{arctg}) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$$. Знаки по четвертям: если аргумент $$x$$ положителен ($$x > 0$$), значением функции является угол, принадлежащий I координатной четверти. Если аргумент $$x$$ отрицателен ($$x < 0$$), значением функции является угол, принадлежащий IV координатной четверти (со знаком минус). Периодичность: функция не является периодической. Она имеет непрерывный график и принимает каждое своё значение ровно один раз. Четность: функция является нечетной. При изменении знака аргумента знак полученного угла меняется на противоположный, что записывается равенством: $$\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x$$. Выражение арктангенса через другие обратные тригонометрические функции Для связи арктангенса с остальными аркфункциями используются следующие тождества: Через арксинус (для любого $$x \in (-\infty; +\infty)$$): $$\operatorname{arctg} x = \arcsin\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$$ Через арккосинус (для любого $$x \in (-\infty; +\infty)$$): $$\operatorname{arctg} x = \arccos\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \text{ (если } x \geq 0\text{), или } \operatorname{arctg} x = -\arccos\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \text{ (если } x < 0\text{)}$$ Через арккотангенс (для любого $$x \in (-\infty; +\infty)$$): $$\operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcctg} x$$ Опорные значения функции арктангенса Ниже приведены закономерности, определяющие, при каких условиях функция принимает свои ключевые значения: Равенство нулю: арктангенс принимает значение $$0$$ (или $$0^\circ$$) строго при нулевом аргументе. Математическая запись: $$\operatorname{arctg} 0 = 0$$. Поведение на бесконечности: при стремлении аргумента к плюс бесконечности ($$x \to +\infty$$) значение угла максимально приближается к $$\frac{\pi}{2}$$ (или $$90^\circ$$). При стремлении к минус бесконечности ($$x \to -\infty$$) значение угла стремится к $$-\frac{\pi}{2}$$ (или $$-90^\circ$$). Таблица значений арктангенса В таблице приведены точные значения углов в градусах и радианах для всех стандартных числовых аргументов функции арктангенса. Таблица структурирована по плавному возрастанию результирующих углов от $$-90^\circ$$ до $$90^\circ$$: Аргумент ($$x$$) — $$-\sqrt{3}$$ $$-1$$ $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$0$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$1$$ $$\sqrt{3}$$ — Угол в градусах $$-90^\circ$$ $$-60^\circ$$ $$-45^\circ$$ $$-30^\circ$$ $$0^\circ$$ $$30^\circ$$ $$45^\circ$$ $$60^\circ$$ $$90^\circ$$ Угол в радианах $$-\frac{\pi}{2}$$ $$-\frac{\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{6}$$ $$0$$ $$\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{2}$$