Калькулятор компланарности векторов

Три вектора являются компланарными (лежат в одной плоскости и отложены от одной точки пространства), если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение векторов $$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$$ в ортонормированном базисе в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$, $$\overline{c}$$.
$$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = \begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}=a_{x}\begin{vmatrix}b_{y}&b_{z}\\c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}-a_{y}\begin{vmatrix}b_{x}&b_{z}\\c_{x}&c_{z}\\\end{vmatrix}+a_{z}\begin{vmatrix}b_{x}&b_{y}\\c_{x}&c_{y}\\\end{vmatrix}=$$
$$a_{x}b_{y}c_{z}-a_{x}b_{z}c_{y}-a_{y}b_{x}c_{z}+a_{y}b_{z}c_{x}+a_{z}b_{x}c_{y}-a_{z}b_{y}c_{x}$$
$$\overline{a}\{a_x\,;\,a_y\,;\,a_z\} = \overline{a}\left\{-1\,;\,3\,;\,2\right\}$$
$$\overline{b}\{b_x\,;\,b_y\,;\,b_z\} = \overline{b}\left\{4\,;\,7\,;\,9\right\}$$
$$\overline{c}\{c_x\,;\,c_y\,;\,c_z\} = \overline{c}\left\{-5\,;\,-13\,;\,6\right\}$$
$$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = \begin{vmatrix}-1&3&2\\4&7&9\\-5&-13&6\\\end{vmatrix}=-1\begin{vmatrix}7&9\\-13&6\\\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}4&9\\-5&6\\\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4&7\\-5&-13\\\end{vmatrix}=$$
$$\left(-1 \cdot 7 \cdot 6\right)-\left(-1 \cdot 9 \cdot \left(-13\right)\right)-\left(3 \cdot 4 \cdot 6\right)+\left(3 \cdot 9 \cdot \left(-5\right)\right)+\left(2 \cdot 4 \cdot \left(-13\right)\right)-\left(2 \cdot 7 \cdot \left(-5\right)\right)= -400$$
Векторы $$\overline{a}$$, $$\overline{b}$$ и $$\overline{c}$$ не являются компланарными, так как их смешанное произведение не равно нулю.

$$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) = -400$$

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам $$A$$ и $$B$$
$$A(A_x\,;\,A_y\,;\,A_z) = A\left(-2\,;\,12\,;\,9\right)$$
$$B(B_x\,;\,B_y\,;\,B_z) = B\left(3\,;\,1\,;\,4\right)$$
$$\overline{AB} = \{B_x - A_x \,;\, B_y - A_y \,;\, B_z - A_z\}$$
$$\overline{AB} = \left\{3 - \left(-2\right)\, ; \,1 - 12\, ; \,4 - 9\right\} = $$$$\left\{5\, ; \,-11\, ; \,-5\right\}$$
Вычислим координаты второго вектора по двум точкам $$C$$ и $$D$$
$$C(C_x\,;\,C_y\,;\,C_z) = C\left(9\,;\,3\,;\,6\right)$$
$$D(D_x\,;\,D_y\,;\,D_z) = D\left(-2\,;\,-1\,;\,0\right)$$
$$\overline{CD} = \{D_x - C_x \,;\, D_y - C_y \,;\, D_z - C_z\}$$
$$\overline{CD} = \left\{-2 - 9\, ; \,-1 - 3\, ; \,0 - 6\right\} = $$$$\left\{-11\, ; \,-4\, ; \,-6\right\}$$
Вычислим координаты третьего вектора по двум точкам $$E$$ и $$F$$
$$E(E_x\,;\,E_y\,;\,E_z) = E\left(0\,;\,4\,;\,9\right)$$
$$F(F_x\,;\,F_y\,;\,F_z) = F\left(2\,;\,-1\,;\,-5\right)$$
$$\overline{EF} = \{F_x - E_x \,;\, F_y - E_y \,;\, F_z - E_z\}$$
$$\overline{EF} = \left\{2 - 0\, ; \,-1 - 4\, ; \,-5 - 9\right\} = $$$$\left\{2\, ; \,-5\, ; \,-14\right\}$$
Три вектора являются компланарными (лежат в одной плоскости и отложены от одной точки пространства), если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение векторов $$(\overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF})$$ в ортонормированном базисе в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов $$\overline{AB}$$, $$\overline{CD}$$, $$\overline{EF}$$.
$$(\overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}) = \begin{vmatrix}AB_{x}&AB_{y}&AB_{z}\\CD_{x}&CD_{y}&CD_{z}\\EF_{x}&EF_{y}&EF_{z}\\\end{vmatrix}=AB_{x}\begin{vmatrix}CD_{y}&CD_{z}\\EF_{y}&EF_{z}\\\end{vmatrix}-AB_{y}\begin{vmatrix}CD_{x}&CD_{z}\\EF_{x}&EF_{z}\\\end{vmatrix}+AB_{z}\begin{vmatrix}CD_{x}&CD_{y}\\EF_{x}&EF_{y}\\\end{vmatrix}=$$
$$AB_{x}CD_{y}EF_{z}-AB_{x}CD_{z}EF_{y}-AB_{y}CD_{x}EF_{z}+AB_{y}CD_{z}EF_{x}+AB_{z}CD_{x}EF_{y}-AB_{z}CD_{y}EF_{x}$$
$$\overline{AB}\{AB_x\,;\,AB_y\,;\,AB_z\} = \overline{AB}\left\{5\,;\,-11\,;\,-5\right\}$$
$$\overline{CD}\{CD_x\,;\,CD_y\,;\,CD_z\} = \overline{CD}\left\{-11\,;\,-4\,;\,-6\right\}$$
$$\overline{EF}\{EF_x\,;\,EF_y\,;\,EF_z\} = \overline{EF}\left\{2\,;\,-5\,;\,-14\right\}$$
$$(\overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}) = \begin{vmatrix}5&-11&-5\\-11&-4&-6\\2&-5&-14\\\end{vmatrix}=5\begin{vmatrix}-4&-6\\-5&-14\\\end{vmatrix}-\left(-11\right)\begin{vmatrix}-11&-6\\2&-14\\\end{vmatrix}+\left(-5\right)\begin{vmatrix}-11&-4\\2&-5\\\end{vmatrix}=$$
$$\left(5 \cdot \left(-4\right) \cdot \left(-14\right)\right)-\left(5 \cdot \left(-6\right) \cdot \left(-5\right)\right)-\left(-11 \cdot \left(-11\right) \cdot \left(-14\right)\right)+\left(-11 \cdot \left(-6\right) \cdot 2\right)+\left(-5 \cdot \left(-11\right) \cdot \left(-5\right)\right)-\left(-5 \cdot \left(-4\right) \cdot 2\right)= 1641$$
Векторы $$\overline{AB}$$, $$\overline{CD}$$ и $$\overline{EF}$$ не являются компланарными, так как их смешанное произведение не равно нулю.

$$(\overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}) = 1641$$