Калькулятор обратной матрицы

Правила ввода чисел и функций

Десятичная дробь $$1.5$$

Для записи десятичной дроби используйте точку, например, 1.12

Обыкновенная дробь $$\frac{a}{b}$$

Для ввода обыкновенных дробей воспользуйтесь знаком «/» , например, 1/2 или 3/4

Произведение чисел $$a \cdot b$$

Для записи произведения используйте знак «*», например, 5 * 4 или 5 * (3^9)

Экспоненциальная запись $$2.3 \cdot 10^{15}$$

Для записи чисел в экспоненциальной форме используйте букву «e».

Примеры:

$$2.3 \cdot 10^{15}$$ записывается как 2.3e+15

$$5.1 \cdot 10^{-6}$$ записывается как 5.1e-6

Число Эйлера $$e$$

Математическая константа, основание натурального логарифма. Приблизительно равно $$2.71828$$

Для записи числа Эйлера введите «e», например, e^2.

Число $$\pi$$

Для записи числа π введите «π», либо «pi», например, sin(π).

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$ записывается как sqrt(x), где x – любое число или выражение. Например, $$\sqrt{3}$$ записывается как sqrt(3)

$$\sqrt{\frac{3}{5}}$$ записывается как sqrt(3/5)

$$\sqrt{3 \cdot 3}$$ записывается как sqrt(3*3)

Корень любой степени $$\sqrt[n]{x}$$

Корень любой степени можно записать при помощи возведения в дробную степень через знак «^».
Формула: $$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$$

Примеры:
Кубический корень $$\sqrt[3]{x}$$ записывается как x^(1/3)
Корень 5-й степени $$\sqrt[5]{32}$$ записывается как 32^(1/5)

Возведение в степень $$x^n$$

Для возведения в степень используйте знак «^», где
Примеры:

$$5^3$$ записывается как 5^(3)

$$\left(\sqrt{3}\right)^{-2}$$ записывается как sqrt(3)^(-2)

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$ у которого основание равно числу Эйлера (е = 2.7182818284...), записывается как ln(n), где n > 0. Например, $$\ln(7)$$ записывается как ln(7).

Абсолютная величина $$\left| x \right|$$

Абсолютная величина (модуль) $$\left| x \right|$$ записывается как Abs(x)
>
$$\left| x-2 \right| - \left| x+2 \right|$$ записывается как Abs(x-2)-Abs(x+2)

$$\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|}$$ записывается как Abs(x)/Abs(y)

Тригонометрические функции

Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sin(45*pi/180).

Примеры записи функций:
• Синус sin(x) записывается как sin(x)
• Косинус cos(x) записывается как cos(x)
• Тангенс tg(x), tan(x) записывается как tan(x)
• Котангенс ctg(x), cot(x) записывается как cot(x)
• Секанс sec(x) записывается как sec(x)
• Косеканс csc(x), cosec(x) записывается как csc(x)

Гиперболические функции

Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sinh(45*pi/180).

Примеры записи функций:
• Гиперболический синус sh(x), sinh(x) записывается как sinh(x)
• Гиперболический косинус ch(x), cosh(x) записывается как cosh(x)
• Гиперболический тангенс th(x), tanh(x) записывается как tanh(x)
• Гиперболический котангенс cth(x), coth(x) записывается как coth(x)
• Гиперболический секанс sch(x), sech(x) записывается как sech(x)
• Гиперболический косеканс csch(x) записывается как csch(x)

Обратные тригонометрические функции

Примеры записи функций:
• Арксинус arcsin(x) записывается как asin(x)
• Арккосинус arccos(x) записывается как acos(x)
• Арктангенс arctg(x), arctan(x) записывается как atan(x)
• Арккотангенс arcctg(x), arccot(x) записывается как acot(x)
• Арксеканс arcsec(x) записывается как asec(x)
• Арккосеканс arccsc(x) записывается как acsc(x)

Обратные гиперболические функции

Примеры записи функций:
• Ареасинус arsh(x), arsinh(x), sin⁻¹ записывается как asinh(x)
• Ареакосинус arch(x), arcosh(x), cosh⁻¹ записывается как acosh(x)
• Ареатангенс arth(x), artanh(x), tanh⁻¹ записывается как atanh(x)
• Ареакотангенс arcth(x), arcoth(x), coth⁻¹ записывается как acoth(x)
• Ареасеканс arsch(x), arsech(x), sech⁻¹ записывается как asech(x)
• Ареакосеканс arcsch(x), csch⁻¹ записывается как acsch(x)

Задайте размерность матрицы и введите значения её элементов. Обратите внимание: нахождение обратной матрицы возможно только для квадратных матриц (количество строк должно быть строго равно количеству столбцов).

Матрица A

представить элементы результирующей матрицы в виде десятичных дробей

О калькуляторе

Этот калькулятор находит обратную матрицу размером от 1×1 до 7×7 с подробным пошаговым разбором.

Правила ввода чисел и функций находятся вверху страницы.

В качестве элементов матрицы можно вводить целые числа, десятичные и обыкновенные дроби, корни любой степени, константы $\pi$ и $e$, а также тригонометрические и гиперболические функции.

В блоке с решением выводится поэтапный процесс вычислений, разбитый на раскрывающиеся шаги:

Вычисление определителя $\det A$ — калькулятор находит детерминант исходной матрицы и проверяет его на равенство нулю, так как при нулевом определителе обратная матрица не существует.
Поиск миноров — для каждого элемента строится матрица, в которой вычеркиваемые строки и столбцы выделяются серым цветом, что помогает отследить структуру определителей младших порядков.
Расчёт алгебраических дополнений — вычисляются значения каждого элемента с учётом знака множителя $(-1)^{i+j}$ и формируется матрица $adj A$.
Транспонирование — показывается переворот строк в столбцы для построения присоединённой матрицы $(adj A)^T$.
Поэлементное деление — выводится промежуточная матрица, где каждая ячейка разделена на детерминант, что позволяет проверить промежуточные вычисления.

Полученный результат вычислений можно скопировать в буфер обмена. Для этого просто нажмите на финальную результирующую матрицу. Данные скопируются в виде строки с фигурными скобками, например: {{0, 0, -1/8}, {1/2, 0, 1/144}, {9, 2, 1/8}}. В таком формате их удобно переносить в другие математические программы или текстовые документы.

Теория: Как найти обратную матрицу

Обратная матрица: – это матрица (обозначается как $A^{-1}$), которая при умножении на исходную матрицу $A$ дает единичную матрицу $E$ (матрицу с единицами по главной диагонали и нулями во всех остальных элементах).; Должно выполняться условие: $A \cdot A^{-1} = E$.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица является квадратной, а её определитель не равен нулю.

Если определитель матрицы равен нулю ($\det A = 0$), матрица называется вырожденной (или сингулярной), и обратной для неё не существует. Если $\det A \neq 0$, матрица называется невырожденной, а обратная матрица является единственной и имеет ту же размерность, что и исходная.

Пошаговый алгоритм нахождения обратной матрицы

Чтобы понять, как строится обратная матрица, разберем суть каждого действия из четырех основных этапов:

Шаг 1. Вычисление определителя $\det A$. Сначала всегда находится определитель исходной матрицы. Это обычное число. Если оно равно нулю, расчет прекращают. Если не равно — это число запоминают, так как на него придется делить элементы матрицы на завершающем этапе решения.
Шаг 2. Нахождение присоединённой (союзной) матрицы $adj A$. На данном этапе вместо каждого элемента исходной матрицы необходимо рассчитать его алгебраическое дополнение $A_{ij}$. Для этого выполняются два последовательных действия:
1. Нахождение минора: для выбранного элемента $a_{ij}$ мысленно вычеркиваются строка $i$ и столбец $j$, на пересечении которых он находится. Из оставшихся элементов формируется определитель младшего порядка, значение которого и является дополнительным минором $M_{ij}$.
2. Учёт знака позиции: найденный минор умножается на множитель $(-1)^{i+j}$, где $i$ и $j$ — номера строки и столбца. Если сумма индексов нечетная, знак минора меняется на противоположный, а если четная — знак остается прежним:
  $$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$
Полученные алгебраические дополнения записываются на исходные позиции элементов, формируя присоединённую матрицу $adj A$.
Шаг 3. Транспонирование присоединённой матрицы. Транспонирование представляет собой операцию, при которой строки матрицы меняются местами с её столбцами. Матрица $adj A$ из предыдущего шага преобразуется так, что её первая строка записывается как первый столбец, вторая — как второй столбец и так далее. Результат обозначается как $(adj A)^T$.
Шаг 4. Деление на определитель. Каждый элемент полученной транспонированной присоединённой матрицы $(adj A)^T$ делится на числовое значение определителя $\det A$, найденного на Шаге 1. Полученные дроби по возможности сокращаются. Результатом данного действия является итоговая обратная матрица.

$$\Large A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot (adj A)^T$$

Для того чтобы детально проследить за всеми промежуточными преобразованиями, вычислением каждого минора и сокращением получаемых дробей, вы можете воспользоваться данным онлайн-калькулятором. Достаточно задать размерность, ввести элементы матрицы, и система автоматически сформирует подробный пошаговый разбор на основе описанного алгоритма.