Введите положительную или отрицательную периодическую десятичную дробь. Для разделения целой и дробной части можно использовать как точку, так и запятую. Повторяющийся период числа обязательно указывайте в круглых скобках, например: 0.(45), 5.(12), 0.345(23), 5.65124(3655).
Показать ход решения
Результат
$$5\frac{107}{49500}$$ $$=$$ $$\frac{247607}{49500}$$
Решение
Шаг 1. Воспользуемся данной формулой чтобы привести десятичную дробь к обычной дроби:
$$Целая\,часть\, +\frac{a - b}{\underbrace{99\ldots9}_{n}\,\, \underbrace{00\ldots0}_{m}}$$
a – число, образованное из цифр до периода и самого периода.
b – число до периода (без учета нулей, идущих в начале).
n – количество чисел в периоде.
m – количество чисел до периода.
Разложим исходное число по элементам формулы:
$$Целая\,часть\, \rightarrow 5.\overbrace{\underbrace{00\overbrace{2}^{b}}_{m}\underbrace{(16)}_{n}}^{a}$$
Получаем значения переменных:
$$a = 216$$
$$b = 2$$
$$n = 2\,\text{(2 цифры 9 в знаменателе)}$$
$$m = 3\,\text{(3 ноля в знаменателе)}$$
Подставим значения в формулу дробной части:
$$5\frac{216 - 2}{99000} = 5\frac{214}{99000}$$
Шаг 2. Сократим полученную дробную часть на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя (2):
$$5\frac{214 \colon 2}{99000 \colon 2} = 5\frac{107}{49500}$$
Также этот результат можно записать в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель дробной части:
$$5\frac{107}{49500} = \frac{5 \cdot 49500 + 107}{49500} = \frac{247607}{49500}$$
Если вам необходимо перевести обычную (конечную) десятичную дробь в обыкновенную (число без повторяющегося периода, например 0.25), воспользуйтесь нашим специальным калькулятором перевода десятичной дроби в обыкновенную.
О калькуляторе
Калькулятор осуществляет перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби и смешанные числа. Программа детально разбирает каждый пример и выводит пошаговый ход вычислений.
Что умеет калькулятор и как строятся шаги:
- Разбирает структуру периодического числа. Программа наглядно определяет все элементы дроби: целую часть, период (повторяющиеся цифры) и предпериод. На основе этих данных рассчитывается точное количество девяток и нулей для знаменателя.
- Применяет математическую формулу перевода. Вычисления строятся на строгом алгоритме. Калькулятор подробно показывает, как из числа, образованного всеми цифрами после запятой, вычитается число, стоящее до периода.
- Математически точно обрабатывает период из девяток. Если вы введёте число с периодом из цифр 9 (например, 0.45(9) или 0.(9)), калькулятор распознает этот особый случай, покажет перенос разрядов и преобразует его в эквивалентную конечную десятичную дробь.
- Приводит дробь к несократимому виду. После составления дроби калькулятор находит наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя, а затем выполняет сокращение.
- Показывает смешанные и неправильные дроби. Для чисел с целой частью программа выведет ответ в двух форматах: в виде смешанного числа и в виде неправильной дроби, что позволит вам выбрать нужный вариант.
- Позволяет копировать ответ в один клик. Дроби в окне результата разделены. Вы можете нажать на смешанное число или неправильную дробь по отдельности, чтобы скопировать значение в буфер обмена.
Правила ввода чисел:
Для разделения целой и дробной части можно использовать и точку, и запятую. Калькулятор поддерживает ввод как положительных, так и отрицательных периодических дробей. Повторяющийся период числа обязательно указывайте в круглых скобках (например, 0.(3) или 2.0093(67)). Если вы случайно введёте целое число или обычную конечную дробь без скобок, система выдаст понятное предупреждение со ссылкой на нужный инструмент.
Теория: Перевод периодических дробей в обыкновенные
- Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, у которой в дробной части есть повторяющееся число или группа цифр. Эту повторяющуюся группу называют периодом дроби и для краткости записывают в круглых скобках. Например, число $0{,}3333...$ принято записывать как $0.(3)$.
- Чистая периодическая дробь — это число, у которого период (скобка) начинается сразу же после разделительной запятой. Примеры: $0.(6)$, $2.(15)$.
- Смешанная периодическая дробь — это число, у которого между запятой и периодом стоят другие, неповторяющиеся цифры (их называют предпериодом). Примеры: $0.5(3)$, $2.0093(67)$.
Любую периодическую дробь можно представить в виде точной обыкновенной дроби или смешанного числа. Порядок действий при переводе зависит исключительно от структуры дробной части — является ли периодическая дробь чистой или смешанной.
1. Перевод чистых периодических дробей
В основе перевода чистой периодической дроби лежит простое базовое правило: в числитель будущей обыкновенной дроби нужно записать сам период (число из скобок), а в знаменатель — записать столько девяток, сколько цифр находится внутри этого периода. Если у исходного числа есть целая часть, она без изменений переносится вперед и становится целой частью смешанного числа.
Рассмотрим этот алгоритм на классическом примере с числом $0.(3)$:
- Внутри периода стоит одна цифра (тройка), значит, в знаменателе нашей дроби будет ровно одна девятка ($9$).
- В числитель переносим число из скобок и записываем равенство:
$$0.(3) = \frac{3}{9}$$
- Полученную дробную часть необходимо сократить. Находим наибольший общий делитель для чисел $3$ и $9$ (это тройка) и делим на него обе части дроби:
$$0.(3) = \frac{3 \colon 3}{9 \colon 3} = \frac{1}{3}$$
2. Перевод смешанных периодических дробей
Если между запятой и периодом есть «прослойка» из других цифр, обычным переносом периода в числитель обойтись не получится. Здесь применяется универсальное математическое правило разложения числа на элементы. Математическая модель выглядит следующим образом:
$$Целая\,часть\,\frac{a - b}{\underbrace{99\ldots9}_{n}\,\, \underbrace{00\ldots0}_{m}}$$
Чтобы безошибочно найти все переменные этой формулы, нужно разложить исходное число по строгому алгоритму:
Число $a$ — это число, образованное из всех цифр дробной части, стоящих до периода, вместе с цифрами самого периода (записывается как единое целое число).
Число $b$ — это число, составленное из цифр предпериода, которые стоят после запятой, но строго до скобки (нули в самом начале при этом отбрасываются).
Знаменатель дроби — формируется из девяток и нулей. Сначала пишем девятки (их количество $n$ равно числу цифр в скобке), а затем дописываем нули (их количество $m$ равно числу цифр между запятой и скобкой).
Рассмотрим применение этого правила на сложном практическом примере с числом $2.0093(67)$:
3. Особый случай: бесконечный период из девяток
Периодические дроби, период которых полностью состоит из цифр 9 (например, $0.(9)$, $0.45(9)$ или $0.00999(99)$), математически тождественны конечным десятичным дробям. С точки зрения математики, любой бесконечный период из девяток равен единице в младшем разряде перед скобкой. Поэтому такие числа переводятся не через составление дробей, а методом точного округления.
Правила перевода и устранения бесконечного периода для таких чисел делятся на три случая:
- Если период из девяток идет сразу после запятой: Бесконечный период просто отбрасывается, а целая часть числа увеличивается ровно на единицу. Так, число $0.(9)$ превращается в целую единицу, а число с целой частью сдвигается вверх:
$$0.(9) = 1$$
$$5.(99) = 6$$
- Если перед периодом из девяток есть другие цифры: Мы полностью убираем скобку с девятками, а число предпериода увеличиваем на единицу. Например, в числе $0.45(9)$ мы увеличиваем $45$ на $1$:
$$0.45(9) = 0.46$$
- Если округление вызывает цепочку переноса разрядов: Мы действуем по стандартным правилам арифметики. Прибавляя единицу к предпериоду числа $0.00999(99)$, мы превращаем блок цифр $00999$ в $01000$. Все незначащие нули на конце получившейся десятичной дроби отбрасываются:
$$0.00999(99) = 0.01$$
Для работы с отрицательными периодическими дробями используется абсолютно тот же порядок действий. Знак минус не принимает участия в вычитании или округлении разрядов — он статично записывается в самом начале строки перед каждым промежуточным и итоговым результатом.