Калькулятор длины вектора

Правила ввода чисел и функций

Десятичная дробь $$1.5$$

Для записи десятичной дроби используйте точку, например, 1.12

Обыкновенная дробь $$\frac{a}{b}$$

Для ввода обыкновенных дробей воспользуйтесь знаком «/» , например, 1/2 или 3/4

Произведение чисел $$a \cdot b$$

Для записи произведения используйте знак «*», например, 5 * 4 или 5 * (3^9)

Экспоненциальная запись $$2.3 \cdot 10^{15}$$

Для записи чисел в экспоненциальной форме используйте букву «e».

Примеры:

$$2.3 \cdot 10^{15}$$ записывается как 2.3e+15

$$5.1 \cdot 10^{-6}$$ записывается как 5.1e-6

Число Эйлера $$e$$

Математическая константа, основание натурального логарифма. Приблизительно равно $$2.71828$$

Для записи числа Эйлера введите «e», например, e^2.

Число $$\pi$$

Для записи числа π введите «π», либо «pi», например, sin(π).

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$ записывается как sqrt(x), где x – любое число или выражение. Например, $$\sqrt{3}$$ записывается как sqrt(3)

$$\sqrt{\frac{3}{5}}$$ записывается как sqrt(3/5)

$$\sqrt{3 \cdot 3}$$ записывается как sqrt(3*3)

Корень любой степени $$\sqrt[n]{x}$$

Корень любой степени можно записать при помощи возведения в дробную степень через знак «^».
Формула: $$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$$

Примеры:
Кубический корень $$\sqrt[3]{x}$$ записывается как x^(1/3)
Корень 5-й степени $$\sqrt[5]{32}$$ записывается как 32^(1/5)

Возведение в степень $$x^n$$

Для возведения в степень используйте знак «^», где
Примеры:

$$5^3$$ записывается как 5^(3)

$$\left(\sqrt{3}\right)^{-2}$$ записывается как sqrt(3)^(-2)

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$ у которого основание равно числу Эйлера (е = 2.7182818284...), записывается как ln(n), где n > 0. Например, $$\ln(7)$$ записывается как ln(7).

Абсолютная величина $$\left| x \right|$$

Абсолютная величина (модуль) $$\left| x \right|$$ записывается как Abs(x)
>
$$\left| x-2 \right| - \left| x+2 \right|$$ записывается как Abs(x-2)-Abs(x+2)

$$\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|}$$ записывается как Abs(x)/Abs(y)

Тригонометрические функции

Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sin(45*pi/180).

Примеры записи функций:
• Синус sin(x) записывается как sin(x)
• Косинус cos(x) записывается как cos(x)
• Тангенс tg(x), tan(x) записывается как tan(x)
• Котангенс ctg(x), cot(x) записывается как cot(x)
• Секанс sec(x) записывается как sec(x)
• Косеканс csc(x), cosec(x) записывается как csc(x)

Гиперболические функции

Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sinh(45*pi/180).

Примеры записи функций:
• Гиперболический синус sh(x), sinh(x) записывается как sinh(x)
• Гиперболический косинус ch(x), cosh(x) записывается как cosh(x)
• Гиперболический тангенс th(x), tanh(x) записывается как tanh(x)
• Гиперболический котангенс cth(x), coth(x) записывается как coth(x)
• Гиперболический секанс sch(x), sech(x) записывается как sech(x)
• Гиперболический косеканс csch(x) записывается как csch(x)

Обратные тригонометрические функции

Примеры записи функций:
• Арксинус arcsin(x) записывается как asin(x)
• Арккосинус arccos(x) записывается как acos(x)
• Арктангенс arctg(x), arctan(x) записывается как atan(x)
• Арккотангенс arcctg(x), arccot(x) записывается как acot(x)
• Арксеканс arcsec(x) записывается как asec(x)
• Арккосеканс arccsc(x) записывается как acsc(x)

Обратные гиперболические функции

Примеры записи функций:
• Ареасинус arsh(x), arsinh(x), sin⁻¹ записывается как asinh(x)
• Ареакосинус arch(x), arcosh(x), cosh⁻¹ записывается как acosh(x)
• Ареатангенс arth(x), artanh(x), tanh⁻¹ записывается как atanh(x)
• Ареакотангенс arcth(x), arcoth(x), coth⁻¹ записывается как acoth(x)
• Ареасеканс arsch(x), arsech(x), sech⁻¹ записывается как asech(x)
• Ареакосеканс arcsch(x), csch⁻¹ записывается как acsch(x)

Задайте размерность пространства, выберите способ задания вектора (по координатам или по двум точкам), введите значения в поля и нажмите кнопку «Вычислить».

Задайте размерность пространства

Укажите форму представления вектора

Координаты точки А

; ;

Координаты точки B

; ;

Показать ход решения

Результат

$$|\overline{a}| = \sqrt{\frac{9}{4}} = $$ $$1.5$$

Решение

Шаг 1. Запишем координаты заданного вектора:

$$\overline{a}\{a_x\,;\,a_y\,;\,a_z\} = \overline{a}\left\{1\,;\,-1\,;\,\frac{1}{2}\right\}$$

Шаг 2. Formула для вычисления длины (модуля) вектора имеет вид:

$$|\overline{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

Подставим координаты вектора в формулу:

$$|\overline{a}| = \sqrt{1^{2} + \left(-1\right)^{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Шаг 3. Возведем координаты вектора в квадрат:

$$|\overline{a}| = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}}$$

Шаг 4. Выполним сложение полученных значений и извлечем корень:

$$|\overline{a}| = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = 1.5$$

О калькуляторе

Этот инструмент позволяет найти длину (модуль) вектора как на плоскости (2D), так и в трехмерном пространстве (3D). Вам не обязательно проводить предварительные расчеты вручную: калькулятор поддерживает два режима работы. Вы можете указать сразу готовые координаты вектора либо ввести координаты точек его начала и конца — во втором случае система самостоятельно вычислит компоненты вектора перед расчетом его длины. Если вам необходимо ввести сложную функцию, пожалуйста, ознакомьтесь с правилами ввода вверху страницы.

В поля ввода можно вводить не только целые числа. Калькулятор корректно распознает обыкновенные и десятичные дроби, корни любой степени, математические константы $\pi$ и $e$, а также тригонометрические и гиперболические функции.

В блоке с решением выводится подробный пошаговый разбор вычислений с формулами и подстановкой значений. Вы сможете проследить всю цепочку действий: от записи исходной формулы до раскрытия скобок, возведения слагаемых в квадрат и извлечения арифметического квадратного корня.

Вычисленное значение не придется переносить вручную — нажмите на итоговый результат, чтобы скопировать его в буфер обмена. В таком формате данные удобно использовать в текстовых документах, учебных работах или других вычислительных программах.

Теория: Как найти модуль (длину) вектора плоскости и пространства

Модулем (длиной) вектора $$|\overline{AB}|$$ называется число, равное расстоянию между начальной и конечной точками вектора. Если известны координаты начальной точки $$A$$ и конечной точки $$B$$, длина отрезка вычисляется по теореме Пифагора и выражается следующими формулами:

$$|\overline{AB}| = \sqrt{{(B_x - A_x)}^{2} + {(B_y - A_y)}^{2}}$$ - для вычисления длины вектора плоскости

$$|\overline{AB}| = \sqrt{{(B_x - A_x)}^{2} + {(B_y - A_y)}^{2} + {(B_z - A_z)}^{2}}$$ - для вычисления длины вектора пространства

Если вектор задан своими собственными координатами $$\overline{a}\{a_x;\,a_y\}$$ или $$\overline{a}\{a_x;\,a_y;\,a_z\}$$, то его модуль равен квадратному корню из суммы квадратов его координат:

$$|\overline{a}| = \sqrt{{a_x}^{2} + {a_y}^{2}}$$ - для вычисления длины вектора плоскости

$$|\overline{a}| = \sqrt{{a_x}^{2} + {a_y}^{2} + {a_z}^{2}}$$ - для вычисления длины вектора пространства

Пример 1. Найдем длину вектора плоскости с координатами начальной и конечной точек $$A(x\,;\,y)$$ и точки $$B(x\,;\,y)$$, где $$A(1\,;\,9)$$ и $$B(4\,;\,7)$$.
Тогда согласно формуле:

$$B_x = 4$$
$$A_x = 1$$
$$B_y = 7$$
$$A_y = 9$$

длина вектора на плоскости — **Пример 1. Вектор $$|\overline{AB}|$$ на плоскости.**

Подставим значения в формулу и найдем модуль вектора $$|\overline{AB}|$$:

$$|\overline{AB}| = \sqrt{{(B_x - A_x)}^{2} + {(B_y - A_y)}^{2}}$$

$$|\overline{AB}| = \sqrt{{\left(4 - 1\right)}^{2} + {\left(7 - 9\right)}^{2}}=$$ $$\sqrt{{\left(3\right)}^{2} + {\left(-2\right)}^{2}}=$$ $$\sqrt{9+4}=$$ $$\sqrt{13}=3.60555127546399$$

$$|\overline{AB}| =\sqrt{13}=3.60555127546399$$

Пример 2. Найдем длину вектора пространства с координатами начальной и конечной точек $$A(x\,;\,y\,;\,z)$$ и точки $$B(x\,;\,y\,;\,z)$$, где $$A(1\,;\,-9\,;\,6)$$ и $$B(4\,;\,-2\,;\,7)$$.
Тогда согласно формуле:

$$B_x = 4$$
$$A_x = 1$$
$$B_y = -2$$
$$A_y = -9$$
$$B_z = 7$$
$$A_z = 6$$

Подставим значения в формулу и найдем длину вектора $$|\overline{AB}|$$:

$$|\overline{AB}| = \sqrt{{(B_x - A_x)}^{2} + {(B_y - A_y)}^{2} + {(B_z - A_z)}^{2}}$$

$$|\overline{AB}| = \sqrt{{\left(4 - 1\right)}^{2} + {\left(-2 - \left(-9\right)\right)}^{2} + {\left(7 - 6\right)}^{2}}=$$ $$\sqrt{{\left(3\right)}^{2} + {\left(7\right)}^{2} + {\left(1\right)}^{2}}=$$ $$\sqrt{9+49+1}=$$ $$\sqrt{59}=7.68114574786861$$

$$|\overline{AB}| =\sqrt{59}=7.68114574786861$$

Пример 3. Найдем длину вектора $$\overline{a}$$ плоскости с координатами $$\overline{a}\{x\,;\,y\}$$, где $$\overline{a}\{3\,;\,8\}$$.
Тогда согласно формуле:

$$a_x = 3$$
$$a_y = 8$$

длина вектора по координатам — **Пример 3. Вектор $$|\overline{a}|$$ по координатам.**

Подставим значения в формулу и найдем модуль вектора $$|\overline{a}|$$:

$$|\overline{a}| = \sqrt{{a_x}^{2} + {a_y}^{2}}$$

$$|\overline{a}| = \sqrt{{3}^{2} + {8}^{2}}=$$ $$\sqrt{9+64}=$$ $$\sqrt{73}=8.54400374531753$$

$$|\overline{a}| =\sqrt{73}=8.54400374531753$$

Пример 4. Найдем длину вектора $$\overline{a}$$ пространства с координатами $$\overline{a}\{x\,;\,y\,;\,z\}$$, где $$\overline{a}\{4\,;\,2\,;\,7\}$$.
Тогда согласно формуле:

$$a_x = 4$$
$$a_y = 2$$
$$a_z = 7$$

Подставим значения в формулу и найдем модуль вектора $$|\overline{a}|$$:

$$|\overline{a}| = \sqrt{{a_x}^{2} + {a_y}^{2} + {a_z}^{2}}$$

$$|\overline{a}| = \sqrt{{4}^{2} + {2}^{2} + {7}^{2}}=$$ $$\sqrt{16+4+49}=$$ $$\sqrt{69}=8.30662386291807$$

$$|\overline{a}| =\sqrt{69}=8.30662386291807$$