Что такое тринадцатеричная система счисления
-
Тринадцатеричная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в тринадцатеричной системе счисления используется десять цифр и три буквы $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $A$, $B$ и $C$. Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $ABC123_{13}$ или $23A6B12C_{13}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в тринадцатеричную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в тринадцатеричную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $13$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $312544_{10}$ в тринадцатеричную систему счисления:
$312544 : 13 = 24041$, остаток: $11$ ($11 = B$)
$24041 : 13 = 1849$, остаток: $4$
$1849 : 13 = 142$, остаток: $3$
$142 : 13 = 10$, остаток: $12$ ($12 = C$)
$10 : 13 = 0$, остаток: $10$ ($10 = A$)
$312544_{10} = AC34B_{13}$
Как перевести десятичную дробь в тринадцатеричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в тринадцатеричную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в тринадцатеричную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $13$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $1857.337_{10}$ в тринадцатеричную систему счисления:
Переведем целую часть:
$1857 : 13 = 142$, остаток: $11$ ($11 = B$)
$142 : 13 = 10$, остаток: $12$ ($12 = C$)
$10 : 13 = 0$, остаток: $10$ ($10 = A$)
$1857_{10} = ACB_{13}$
Переведем дробную часть:
$0.337 \cdot 13 = 4.381$
$0.381 \cdot 13 = 4.953$
$0.953 \cdot 13 = 12.389$ ($12 = C$)
$0.389 \cdot 13 = 5.057$
$0.057 \cdot 13 = 0.741$
$0.741 \cdot 13 = 9.633$
$0.633 \cdot 13 = 8.229$
$0.229 \cdot 13 = 2.977$
$0.977 \cdot 13 = 12.701$ ($12 = C$)
$0.701 \cdot 13 = 9.113$
$0.337_{10} = 0.44C50982C9_{13}$
$1857.337_{10} = ACB.44C50982C9_{13}$
Тринадцатеричные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной тринадцатеричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая тринадцатеричная дробь, поэтому умножение на $13$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $1857.337$ не может быть точно представлена в тринадцатеричной системе счисления.
Как перевести число из тринадцатеричной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из тринадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $13$, так как система счисления 13-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $13$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $1B4CAAB_{13}$ в десятичную систему счисления:
Для расчета учитываем, что:
$A_{13} = 10_{10}$
$B_{13} = 11_{10}$
$C_{13} = 12_{10}$
$$\overset{6}{1}\overset{5}{B}\overset{4}{4}\overset{3}{C}\overset{2}{A}\overset{1}{A}\overset{0}{B}_{13} = 1 \cdot 13^{6} + 11 \cdot 13^{5} + 4 \cdot 13^{4} + 12 \cdot 13^{3} + 10 \cdot 13^{2} + 10 \cdot 13^{1} + 11 \cdot 13^{0} = 9053471_{10}$$
Как перевести дробное тринадцатеричное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное тринадцатеричное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное тринадцатеричное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $13$, так как система счисления 13-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $13$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное тринадцатеричное число $4AA.C3_{13}$ в десятичную систему:
Для расчета учитываем, что:
$A_{13} = 10_{10}$
$C_{13} = 12_{10}$
$$\overset{2}{4}\overset{1}{A}\overset{0}{A}.\overset{-1}{C}\overset{-2}{3}_{13} = 4 \cdot 13^{2} + 10 \cdot 13^{1} + 10 \cdot 13^{0} + 12 \cdot 13^{-1} + 3 \cdot 13^{-2} = 816.9408284023668639053254437867_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в тринадцатеричной системе счисления