Теория: Что такое секанс угла Секанс угла — это тригонометрическая функция, определяющая отношение гипотенузы к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике или величину, обратную косинусу данного угла. Варианты обозначения функции В зависимости от математической школы и области применения (учебная литература, программирование, инженерные стандарты), функция секанса может записываться по-разному: $$\sec \alpha$$ — стандартное международное и отечественное обозначение, принятое как в российской учебной литературе, так и во всем мире, включая языки программирования и калькуляторы. $$\operatorname{secant}(\alpha)$$ — полное англоязычное наименование функции, которое встречается в зарубежных научно-технических изданиях. Определение через прямоугольный треугольник Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с острым углом α, тогда секансом угла α будет отношение гипотенузы к прилежащему катету sec α = AC/AB. Геометрическое определение секанса в прямоугольном треугольнике Определение через тригонометрическую окружность Так же для определения секанса угла можно воспользоваться окружностью, построенной в декартовой системе координат, радиуса R и центром в начале координат O. На окружности отметим точку P с координатами (1;0), теперь повернем луч OP на некоторый угол α. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелки – отрицательным. Секансом угла α будет отношение радиуса окружности к абсциссе точки XP sec α = R/XP, в случае, если окружность единичная (радиус окружности = 1), формула примет вид sec α = 1/XP и так как косинус угла равен абсциссе точки XP, можно записать sec α = 1/cos α. Определение секанса на тригонометрической окружности Ключевые свойства функции секанса Математические особенности и поведение функции в числовом пространстве: Область определения: функция является обратной косинусу, поэтому она имеет точки разрыва в местах, где косинус обращается в ноль (возникает деление на ноль). В действительном пространстве это углы $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$ (или $90^\circ + 180^\circ k$). Для всех остальных комплексных и действительных значений секанс полностью определен. Область значений: так как модуль косинуса действительного угла не превышает единицу, секанс по модулю всегда равен или больше единицы. Функция не может принимать промежуточные дробные значения от $-1$ до $1$, что записывается как $E(\sec) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Четность (симметрия): поскольку косинус является четным, секанс полностью перенимает это свойство. Знак аргумента внутри функции не влияет на итоговый результат: $\sec(-\alpha) = \sec \alpha$. Знаки по четвертям: знаки секанса полностью дублируют знаки косисуса, так как функция зависит от абсциссы ($x$). Секанс принимает положительные значения в I и IV четвертях, а отрицательные — во II и III четвертях. Периодичность: функция повторяет свои значения через каждый полный оборот тригонометрического круга. Главный период равен $2\pi$ (или $360^\circ$), то есть $\sec(\alpha + 2\pi k) = \sec \alpha, \ k \in \mathbb{Z}$. Выражение секанса через другие тригонометрические функции Взаимосвязь секанса с остальными элементами тригонометрической системы описывается следующими формулами: Через косинус (прямая обратная зависимость): $$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$$ Через синус: $$\sec \alpha = \frac{1}{\pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}$$ Через тангенс: $$\sec \alpha = \pm\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}$$ Через котангенс: $$\sec \alpha = \frac{\pm\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}}{\operatorname{ctg} \alpha}$$ Через косеканс: $$\sec \alpha = \frac{\operatorname{cosec} \alpha}{\pm\sqrt{\operatorname{cosec}^2 \alpha - 1}}$$ Математический знак перед квадратным корнем ($\pm$) выбирается на основании того, в какой конкретно координатной четверти расположен исходный угол $\alpha$. Опорные значения функции секанса Ниже приведены закономерности, определяющие, при каких углах функция принимает ключевые значения (где $k \in \mathbb{Z}$): Равенство нулю: функция секанса ни при каком значении аргумента не может быть равна $0$, так как числитель дроби $\frac{1}{\cos \alpha}$ всегда равен единице. Равенство единице: значение $1$ достигается в точках, где косинус равен единице. Формула углов: $\alpha = 2\pi k$ (в градусах: $\alpha = 360^\circ k$). Равенство минус единице: значение $-1$ достигается в точках, где косинус равен минус единице. Формула углов: $\alpha = \pi + 2\pi k$ (в градусах: $\alpha = 180^\circ + 360^\circ k$). Таблица значений функции секанса В таблице приведены точные значения секанса для всех основных углов тригонометрической окружности. В точках, где косинус равен нулю, функция секанса не определена (—): Угол в градусах $$-360^\circ$$ $$-270^\circ$$ $$-180^\circ$$ $$-90^\circ$$ $$-60^\circ$$ $$-45^\circ$$ $$-30^\circ$$ $$0^\circ$$ $$30^\circ$$ $$45^\circ$$ $$60^\circ$$ $$90^\circ$$ $$180^\circ$$ $$270^\circ$$ $$360^\circ$$ Угол в радианах $$-2\pi$$ $$-\frac{3\pi}{2}$$ $$-\pi$$ $$-\frac{\pi}{2}$$ $$-\frac{\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{6}$$ $$0$$ $$\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{2}$$ $$\pi$$ $$\frac{3\pi}{2}$$ $$2\pi$$ Значение $$\sec \alpha$$ $$1$$ — $$-1$$ — $$2$$ $$\sqrt{2}$$ $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ $$1$$ $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ $$\sqrt{2}$$ $$2$$ — $$-1$$ — $$1$$