Теория: Что такое тангенс угла Тангенс угла — это тригонометрическая функция, определяющая отношение катетов в прямоугольном треугольнике, отношение синуса к косинусу или ординату точки пересечения луча угла с касательной к единичной окружности. Варианты обозначения функции В зависимости от математической школы и области применения (учебная литература, программирование, инженерные стандарты), функция тангенса имеет существенно различающиеся формы записи: $$\operatorname{tg} \alpha$$ — традиционное отечественное обозначение, принятое в российской учебной литературе и странах СНГ. $$\tan \alpha$$ — международное обозначение функции тангенса. Именно эта форма является стандартом в зарубежной литературе, языках программирования, инженерных калькуляторах и электронных таблицах. $$\operatorname{tangent}(\alpha)$$ — полное англоязычное наименование функции, используемое в иностранных научно-технических изданиях. Определение через прямоугольный треугольник Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с острым углом α, тогда тангенсом угла α будет отношение противолежащего катета к прилежащему tg α = BC/AB. Тангенс угла можно определить как отношение синуса угла к косинусу данного угла tg α = sin α / cos α Геометрическое определение тангенса в прямоугольном треугольнике Определение через тригонометрическую окружность Так же для определения тангенса угла можно воспользоваться окружностью, построенной в декартовой системе координат, радиуса R и центром в начале координат O. На окружности отметим точку P с координатами (1;0), теперь повернем луч OP на некоторый угол α. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелки – отрицательным. Тангенсом угла α будет отношение ординаты точки YP к абсциссе точки XP. tg α = YP/XP. Определение тангенса через координаты точки на окружности Определение через ось тангенсов Для вычисления тангенса угла, можно также воспользоваться осью тангенсов. Определим окружность радиуса R как единичную с центром в начале координат O. Параллельно оси y, на расстоянии равном радиусу окружности расположим прямую x=1. На окружности отметим точку P с координатами (1;0), теперь повернем луч OP на некоторый угол α и продолжим луч OP до пересечения с прямой x=1. Тангенсу угла α будет соответствовать значение в точке B. Геометрическое представление функции на оси тангенсов Ключевые свойства функции тангенса Математические особенности и ограничения поведения функции: Область определения: в отличие от синуса и косинуса, тангенс имеет точки разрыва. Функция не определена там, где косинус обращается в ноль (деление на ноль). В действительном пространстве это точки $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$ (или $90^\circ + 180^\circ k$). Для всех остальных комплексных и действительных чисел функция полностью определена. Область значений: значения функции не ограничены радиусом окружности. Тангенс действительного аргумента может принимать абсолютно любые значения в диапазоне от минус бесконечности до плюс бесконечности, что записывается как $E(\operatorname{tg}) = \mathbb{R}$. Четность (асимметрия): тангенс является нечетной функцией. При изменении знака аргумента результат меняет знак на противоположный: $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$. Знаки по четвертям: так как тангенс представляет собой отношение двух координат, он принимает положительные значения в I и III координатных четвертях (где знаки координат совпадают) и отрицательные значения во II и IV четвертях. Периодичность: функция повторяет свои значения в два раза быстрее синуса и косинуса. Её главный период равен $\pi$ (или $180^\circ$), следовательно, $\operatorname{tg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{tg} \alpha, \ k \in \mathbb{Z}$. Выражение тангенса через другие тригонометрические функции Связь тангенса с остальными элементами тригонометрической системы выражается через следующие соотношения: Через синус: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}$$ Через косинус: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha}$$ Через котангенс (обратная зависимость): $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}$$ Через секанс: $$\operatorname{tg} \alpha = \pm\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}$$ Через косеканс: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\pm\sqrt{\operatorname{cosec}^2 \alpha - 1}}$$ Выбор знака перед квадратным корнем ($\pm$) определяется исключительно координатной четвертью, в которой находится исходный угол $\alpha$. Опорные значения функции тангенса Ниже приведены закономерности, определяющие поведение функции в ключевых точках (где $k \in \mathbb{Z}$): Равенство нулю: тангенс равен $0$ в тех же точках, где нулю равен синус. Формула углов: $\alpha = \pi k$ (в градусах: $\alpha = 180^\circ k$). Равенство единице: значение $1$ достигается под углом в $45^\circ$, когда длины катетов равны. Формула углов: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$ (в градусах: $\alpha = 45^\circ + 180^\circ k$). Равенство минус единице: значение $-1$ достигается во II и IV координатных четвертях. Формула углов: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ (в градусах: $\alpha = -45^\circ + 180^\circ k$). Таблица значений функции тангенса В таблице приведены точные значения тангенса для всех основных углов тригонометрической окружности. В точках, где косинус равен нулю, функция тангенса не определена (—): Угол в градусах $$-360^\circ$$ $$-270^\circ$$ $$-180^\circ$$ $$-90^\circ$$ $$-60^\circ$$ $$-45^\circ$$ $$-30^\circ$$ $$0^\circ$$ $$30^\circ$$ $$45^\circ$$ $$60^\circ$$ $$90^\circ$$ $$180^\circ$$ $$270^\circ$$ $$360^\circ$$ Угол в радианах $$-2\pi$$ $$-\frac{3\pi}{2}$$ $$-\pi$$ $$-\frac{\pi}{2}$$ $$-\frac{\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{6}$$ $$0$$ $$\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{2}$$ $$\pi$$ $$\frac{3\pi}{2}$$ $$2\pi$$ Значение $$\operatorname{tg} \alpha$$ $$0$$ — $$0$$ — $$-\sqrt{3}$$ $$-1$$ $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$0$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$1$$ $$\sqrt{3}$$ — $$0$$ — $$0$$