Что такое пятеричная система счисления
-
Пятеричная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в пятеричной системе счисления используется пять цифр $0$, $1$, $2$, $3$ и $4$.
Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $1304_{5}$ или $2033_{5}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в пятеричную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в пятеричную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $5$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $70_{10}$ в пятеричную систему счисления:
$70 : 5 = 14$, остаток: $0$
$14 : 5 = 2$, остаток: $4$
$2 : 5 = 0$, остаток: $2$
$70_{10} = 240_{5}$
Как перевести десятичную дробь в пятеричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в пятеричную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в пятеричную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $5$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем число $4.3_{10}$ в пятеричную систему счисления:
Переведем целую часть:
$4 : 5 = 0$, остаток: $4$
$4_{10} = 4_{5}$
Переведем дробную часть:
$0.3 \cdot 5 = 1.5$
$0.5 \cdot 5 = 2.5$
$0.5 \cdot 5 = 2.5$
$0.5 \cdot 5 = 2.5$
$0.5 \cdot 5 = 2.5$
$0.5 \cdot 5 = 2.5$
$0.5 \cdot 5 = 2.5$
$0.5 \cdot 5 = 2.5$
$0.5 \cdot 5 = 2.5$
$0.5 \cdot 5 = 2.5$
$0.3_{10} = 0.1222222222_{5}$
$4.3_{10} = 4.1222222222_{5}$
Пятеричные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной пятеричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая пятеричная дробь, поэтому умножение на $5$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $4.3$ не может быть точно представлена в пятеричной системе счисления.
К примеру, дробь $12.36_{10}$ может быть представлена в пятеричной системе счисления в виде конечной: $12.36_{10} = 22.14_{5}$.
Как перевести число из пятеричной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из пятеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $5$, так как система счисления 5-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $5$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $4023_{5}$ в десятичную систему счисления:
$$\overset{3}{4}\overset{2}{0}\overset{1}{2}\overset{0}{3}_5 = 4 \cdot 5^{3} + 0 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5^{1} + 3 \cdot 5^{0} = 513_{10}$$
Как перевести дробное пятеричное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное пятеричное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное пятеричное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $5$, так как система счисления 5-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $5$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное пятеричное число $21.13_{5}$ в десятичное:
$$\overset{1}{2}\overset{0}{1}.\overset{-1}{1}\overset{-2}{3}_5 = 2 \cdot 5^{1} + 1 \cdot 5^{0} + 1 \cdot 5^{-1} + 3 \cdot 5^{-2} = 11.32_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в пятеричной системе счисления