Что такое двоичная система счисления
-
Двоичная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в двоичной системе счисления используется две цифры $0$ и $1$.
Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $1001_{2}$ или $1000101_{2}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в двоичную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в двоичную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $2$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $173_{10}$ в двоичную систему счисления:
$173 : 2 = 86$, остаток: $1$
$86 : 2 = 43$, остаток: $0$
$43 : 2 = 21$, остаток: $1$
$21 : 2 = 10$, остаток: $1$
$10 : 2 = 5$, остаток: $0$
$5 : 2 = 2$, остаток: $1$
$2 : 2 = 1$, остаток: $0$
$1 : 2 = 0$, остаток: $1$
$173_{10} = 10101101_{2}$
Как перевести десятичную дробь в двоичную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в двоичную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в двоичную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $2$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $5.74_{10}$ в двоичную систему счисления:
Переведем целую часть:
$5 : 2 = 2$, остаток: $1$
$2 : 2 = 1$, остаток: $0$
$1 : 2 = 0$, остаток: $1$
$5_{10} = 101_{2}$
Переведем дробную часть:
$0.74 \cdot 2 = 1.48$
$0.48 \cdot 2 = 0.96$
$0.96 \cdot 2 = 1.92$
$0.92 \cdot 2 = 1.84$
$0.84 \cdot 2 = 1.68$
$0.68 \cdot 2 = 1.36$
$0.36 \cdot 2 = 0.72$
$0.72 \cdot 2 = 1.44$
$0.44 \cdot 2 = 0.88$
$0.88 \cdot 2 = 1.76$
$0.74_{10} = 0.1011110101_{2}$
$5.74_{10} = 101.1011110101_{2}$
Двоичные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной двоичной.
В данном примере получается бесконечная периодическая двоичная дробь, поэтому умножение на $2$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $5.74$ не может быть точно представлена в двоичной системе счисления.
К примеру, дробь $2.5_{10}$ может быть представлена в двоичной системе счисления в виде конечной: $2.5_{10} = 10.1_{2}$.
Как перевести число из двоичной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $2$, так как система счисления 2-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $2$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем теперь обратно число $10101101_{2}$ в десятичную систему счисления:
$$\overset{7}{1}\overset{6}{0}\overset{5}{1}\overset{4}{0}\overset{3}{1}\overset{2}{1}\overset{1}{0}\overset{0}{1}_2 = 1 \cdot 2^{7} + 0 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 173_{10}$$
Как перевести дробное двоичное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное двоичное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное двоичное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $2$, так как система счисления 2-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $2$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное двоичное число $110.101$ в десятичную систему:
$$\overset{2}{1}\overset{1}{1}\overset{0}{0}.\overset{-1}{1}\overset{-2}{0}\overset{-3}{1}_2 = 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2^{-1} + 0 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} = 6.625_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в двоичной системе счисления