Что такое троичная система счисления
-
Троичная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в троичной системе счисления используется три цифры $0$, $1$ и $2$.
Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $2010_{3}$ или $112_{3}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в троичную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в троичную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $3$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $237_{10}$ в троичную систему счисления:
$237 : 3 = 79$ остаток: $0$
$79 : 3 = 26$ остаток: $1$
$26 : 3 = 8$ остаток: $2$
$8 : 3 = 2$ остаток: $2$
$2 : 3 = 0$ остаток: $2$
$237_{10} = 22210_{3}$
Как перевести десятичную дробь в троичную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в троичную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в троичную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $3$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $3.7_{10}$ в троичную систему счисления:
Переведем целую часть:
$3 : 3 = 1$, остаток: $0$
$1 : 3 = 0$, остаток: $1$
$3_{10} = 10_{3}$
Переведем дробную часть:
$0.7 \cdot 3 = 2.1$
$0.1 \cdot 3 = 0.3$
$0.3 \cdot 3 = 0.9$
$0.9 \cdot 3 = 2.7$
$0.7 \cdot 3 = 2.1$
$0.1 \cdot 3 = 0.3$
$0.3 \cdot 3 = 0.9$
$0.9 \cdot 3 = 2.7$
$0.7 \cdot 3 = 2.1$
$0.1 \cdot 3 = 0.3$
$0.7_{10} = 0.2002200220_{3}$
$3.7_{10} = 10.2002200220_{3}$
Троичные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной троичной.
В данном примере получается бесконечная периодическая троичная дробь, поэтому умножение на $3$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $3.7$ не может быть точно представлена в троичной системе счисления.
Как перевести число из троичной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из троичной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $3$, так как система счисления 3-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $3$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $2120_{3}$ в десятичную систему счисления:
$$\overset{3}{2}\overset{2}{1}\overset{1}{2}\overset{0}{0}_3 = 2 \cdot 3^{3} + 1 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3^{1} + 0 \cdot 3^{0} = 69_{10}$$
Как перевести дробное троичное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное троичное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное троичное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $3$, так как система счисления 3-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $3$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное троичное число $102.21_{3}$ в десятичное:
$$\overset{2}{1}\overset{1}{0}\overset{0}{2}.\overset{-1}{2}\overset{-2}{1}_3 = 1 \cdot 3^{2} + 0 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} + 2 \cdot 3^{-1} + 1 \cdot 3^{-2} = 11.(7)_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в троичной системе счисления