Описанная окружность треугольника - это окружность, проходящая через все вершины треугольника. Центр этой окружности называется центром описанной окружности.

Радиус описанной окружности треугольника (R) - это расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника.

У треугольника радиус описанной окружности можно вычислить, зная значение трех его сторон по данной формуле:

R

=

\frac{a \cdot b \cdot c}{\sqrt{\frac{(a + b - c) \cdot (a - b + c) \cdot (b - a + c)}{a + b + c}} \cdot (a + b + c)}

Вычисление радиуса описанной окружности треугольника по площади и трем высотам

Формулу радиуса описанной окружности треугольника по значению пощади (S) и высот h_a, h_b, h_c можно вывести из формул площади треугольника и формулы вычисления радиуса описанной окружности по трем сторонам:

Если значение площади треугольника по опущенной высоте и длины стороны равно:

S

=

\frac{a \cdot h_{a}}{2}

S

=

\frac{b \cdot h_{b}}{2}

S

=

\frac{c \cdot h_{c}}{2}

То выразим значения длин сторон из данных формул:

a

=

\frac{2 S}{h_{a}}

b

=

\frac{2 S}{h_{b}}

c

=

\frac{2 S}{h_{c}}

Подставим выражения для каждой стороны треугольника в формулу вычисления радиуса описанной окружности по трем сторонам:

R

=

\frac{a \cdot b \cdot c}{\sqrt{\frac{(a + b - c) \cdot (a - b + c) \cdot (b - a + c)}{a + b + c}} \cdot (a + b + c)}

Тогда,

R

=

\frac{\frac{2 S}{h_{a}} \cdot \frac{2 S}{h_{b}} \cdot \frac{2 S}{h_{c}}}{\sqrt{\frac{(\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} - \frac{2 S}{h_{c}}) \cdot (\frac{2 S}{h_{a}} - \frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}}) \cdot (\frac{2 S}{h_{b}} - \frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{c}})}{\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}}}} \cdot (\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}})}

Упростим получившиеся выражения:

R

=

\frac{2 \cdot S^{2}}{\sqrt{\frac{S^{2} \cdot (h_{a} \cdot h_{b} + h_{a} \cdot h_{c} - h_{b} \cdot h_{c}) \cdot (h_{a} \cdot h_{b} - h_{a} \cdot h_{c} + h_{b} \cdot h_{c}) \cdot (h_{a} \cdot h_{c} - h_{a} \cdot h_{b} + h_{b} \cdot h_{c})}{{h_{a}}^{2} \cdot {h_{b}}^{2} \cdot {h_{c}}^{2} \cdot (h_{a} \cdot h_{b} + h_{a} \cdot h_{c} + h_{b} \cdot h_{c})}} \cdot (h_{a} \cdot h_{b} + h_{a} \cdot h_{c} + h_{b} \cdot h_{c})}

Формулы вычисления радиуса описанной окружности треугольника по одной стороне и углу

R

=

\frac{a}{2 \cdot \sin (α)}

R

=

\frac{b}{2 \cdot \sin (β)}

R

=

\frac{c}{2 \cdot \sin (γ)}

где a,b,c - стороны треугольника,
sin() - функция синуса (принимает значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы).

Формула вычисления радиуса описанной окружности треугольника по трем углам и площади

R

=

\sqrt{\frac{S}{2 \cdot \sin (α) \cdot \sin (β) \cdot \sin (γ)}}

где S - площадь треугольника,
sin() - функция синуса (принимает значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы).

Формула вычисления радиуса описанной окружности треугольника по радиусу вписанной окружности и трем углам

радиус вписанной и описанной окружности в треугольник

R

=

r \cdot \sqrt{\frac{\sin (α) + \sin (β) + \sin (γ)}{(- \sin (α) + \sin (β) + \sin (γ)) \cdot (\sin (α) - \sin (β) + \sin (γ)) \cdot (\sin (α) + \sin (β) - \sin (γ))}}

где r - радиус вписанной окружности в треугольник,
sin() - функция синуса (принимает значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы).

Формула вычисления радиуса описанной окружности треугольника по трем углам и периметру

R

=

\frac{p}{\sin (α) + \sin (β) + \sin (γ)}

где p - периметр треугольника,
sin() - функция синуса (принимает значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы).

Формулы вычисления радиуса описанной окружности треугольника по биссектрисе и трем углам

R

=

\frac{b_{a} \cdot \sin (β + γ) \cdot \cos (\frac{β}{2} - \frac{γ}{2})}{2 \cdot \sin (α) \cdot \sin (β) \cdot \sin (γ)}

R

=

\frac{b_{b} \cdot \sin (α + γ) \cdot \cos (\frac{α}{2} - \frac{γ}{2})}{2 \cdot \sin (α) \cdot \sin (β) \cdot \sin (γ)}

R

=

\frac{b_{c} \cdot \sin (α + β) \cdot \cos (\frac{α}{2} - \frac{β}{2})}{2 \cdot \sin (α) \cdot \sin (β) \cdot \sin (γ)}

где b_a, b_b, b_c - биссектрисы треугольника,
sin(), cos() - функции синуса и косинуса (принимают значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы).

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы по геометрии

Калькуляторы площади

Калькулятор площади геометрических фигур

Калькулятор площади квадрата

Калькулятор площади прямоугольника

Калькулятор площади треугольника

Калькулятор площади окружности

Калькулятор площади эллипса

Калькулятор площади трапеции

Калькулятор площади правильного многоугольника

Калькулятор площади параллелограмма