Формулу радиуса вписанной окружности в треугольник по значению пощади (S) и высот h_a, h_b, h_c можно вывести из формул площади треугольника и формулы вычисления радиуса вписанной окружности по трем сторонам:

Если значение площади треугольника по опущенной высоте и длины стороны равно:

S

=

\frac{a \cdot h_{a}}{2}

S

=

\frac{b \cdot h_{b}}{2}

S

=

\frac{c \cdot h_{c}}{2}

То выразим значения длин сторон из данных формул:

a

=

\frac{2 S}{h_{a}}

b

=

\frac{2 S}{h_{b}}

c

=

\frac{2 S}{h_{c}}

Подставим выражения для каждой стороны треугольника в формулу вычисления радиуса вписанной окружности по трем сторонам:

r

=

\sqrt{\frac{(- a + b + c) \cdot (a - b + c) \cdot (a + b - c)}{4 \cdot (a + b + c)}}

Тогда,

r

=

\sqrt{\frac{(- \frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}}) \cdot (\frac{2 S}{h_{a}} - \frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}}) \cdot (\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} - \frac{2 S}{h_{c}})}{4 \cdot (\frac{2 S}{h_{a}} + \frac{2 S}{h_{b}} + \frac{2 S}{h_{c}})}}

Упростим получившиеся выражения:

r

=

\sqrt{\frac{S^{2} \cdot (h_{a} \cdot h_{c} + h_{b} \cdot h_{c} - h_{a} \cdot h_{b}) \cdot (h_{a} \cdot h_{b} - h_{a} \cdot h_{c} + h_{b} \cdot h_{c}) \cdot (h_{a} \cdot h_{b} + h_{a} \cdot h_{c} - h_{b} \cdot h_{c})}{{h_{a}}^{2} \cdot {h_{b}}^{2} \cdot {h_{c}}^{2} \cdot (h_{a} \cdot h_{b} + h_{a} \cdot h_{c} + h_{b} \cdot h_{c})}}

Вычисление радиуса вписанной окружности в треугольник по площади и полупериметру

Радиус вписанной окружности в треугольник (r) можно определить, как отношение площади (S) данного треугольника к его полупериметру (p):

r

=

\frac{S}{p}

Вычисление радиуса вписанной окружности в треугольник по трем углам и площади

Площадь треугольника по трем углам и радиусу вписанной окружности равна:

S

=

r^{2} \cdot ctg (\frac{α}{2}) \cdot ctg (\frac{β}{2}) \cdot ctg (\frac{γ}{2})

Решим уравнение, найдем (r):

r

=

\sqrt{S \cdot \tan (\frac{α}{2}) \cdot \tan (\frac{β}{2}) \cdot \tan (\frac{γ}{2})}

Обратите внимание, что функция тангенса tan() принимает значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы.

Вычисление радиуса вписанной окружности в треугольник по трем углам и радиусу описанной окружности

радиус вписанной и описанной окружности в треугольник

Формулу нахождения радиуса вписанной окружности в треугольник (r) можно вывести из формул радиуса описанной окружности (R) треугольника и формулы вычисления радиуса вписанной окружности по трем сторонам:

Если значение радиуса описанной окружности (R) по стороне и углу равно:

R

=

\frac{a}{2 \cdot \sin (α)}

R

=

\frac{b}{2 \cdot \sin (β)}

R

=

\frac{c}{2 \cdot \sin (γ)}

То выразим значения длин сторон из данных формул:

a

=

2 \cdot R \cdot \sin (α)

b

=

2 \cdot R \cdot \sin (β)

c

=

2 \cdot R \cdot \sin (γ)

Подставим получившиеся формулы длин сторон в формулу вычисления радиуса вписанной окружности по трем сторонам:

r

=

\sqrt{\frac{(- a + b + c) \cdot (a - b + c) \cdot (a + b - c)}{4 \cdot (a + b + c)}}

Тогда,

r

=

\sqrt{\frac{(- 2 \cdot R \cdot \sin (α) + 2 \cdot R \cdot \sin (β) + 2 \cdot R \cdot \sin (γ)) \cdot (2 \cdot R \cdot \sin (α) - 2 \cdot R \cdot \sin (β) + 2 \cdot R \cdot \sin (γ)) \cdot (2 \cdot R \cdot \sin (α) + 2 \cdot R \cdot \sin (β) - 2 \cdot R \cdot \sin (γ))}{4 \cdot (2 \cdot R \cdot \sin (α) + 2 \cdot R \cdot \sin (β) + 2 \cdot R \cdot \sin (γ))}}

Упростим получившиеся выражения:

r

=

\sqrt{\frac{R^{2} \cdot (- \sin (α) + \sin (β) + \sin (γ)) \cdot (\sin (α) - \sin (β) + \sin (γ)) \cdot (\sin (α) + \sin (β) - \sin (γ))}{\sin (α) + \sin (β) + \sin (γ)}}

Снова обратите внимание, что функция синуса sin() принимает значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы.

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы по геометрии

Калькуляторы площади

Калькулятор площади геометрических фигур

Калькулятор площади квадрата

Калькулятор площади прямоугольника

Калькулятор площади треугольника

Калькулятор площади окружности

Калькулятор площади эллипса

Калькулятор площади трапеции

Калькулятор площади правильного многоугольника

Калькулятор площади параллелограмма