О калькуляторе
Этот онлайн-калькулятор находит число сочетаний без повторений. Он позволяет узнать, сколькими способами можно выбрать $k$ объектов из множества в $n$ элементов, если порядок этих объектов в комбинации не имеет значения.
Для расчетов используется формула: $$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$. Вы можете вводить любые целые положительные числа и ноль. Главное условие — количество выбираемых объектов не должно превышать размер самого множества ($k \le n$). Калькулятор поддерживает два способа задания множества: вы можете указать его числовой размер (до $$9999$$) или ввести конкретное слово или набор уникальных символов (длиной до 100 знаков).
Результат вычислений выводится в удобном для чтения виде. Большие числа разделяются пробелами по разрядам, а для огромных результатов (от 500 знаков и более) используется компактная запись со степенями десятки. Ход решения расписывается подробно: для небольших выборок калькулятор наглядно покажет, как сокращается дробь, а для сложных расчетов применит деление факториалов. Если вместо чисел вы ввели символы, итоговых наборов получилось не больше 100, то ниже на странице откроется их готовый нумерованный список.
Теория: Сочетания без повторений
В комбинаторике часто возникает необходимость определить количество способов выбора определённого числа элементов, когда их взаимное расположение внутри готового набора совершенно не важно. В таких задачах оценивается исключительно качественный состав выборки.
- Сочетанием без повторений из $n$ элементов по $k$ (где $k \le n$) называется любое подмножество, состоящее из $k$ элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ различных элементов. Два сочетания считаются различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Главным отличием сочетаний от размещений является то, что комбинации «АБ» и «БА» признаются тождественными, так как состоят из одних и тех же объектов. Кроме того, поскольку повторения исключены, мы физически не можем выбрать больше элементов, чем содержит исходное множество, поэтому объем выборки всегда строго ограничен размером самого множества ($k \le n$).
Формула расчета числа сочетаний
Число всех возможных сочетаний без повторений из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $C_n^k$ (от французского combinaison) и вычисляется через отношение факториалов по следующей формуле:
$$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$
В этой формуле:
- $n!$ (факториал числа $n$) — общее количество элементов исходного множества;
- $(n-k)!$ — факториал разности, который исключает из расчетов невыбранные элементы;
- $k!$ (факториал числа $k$) — знаменатель, который убирает из итогового результата все лишние перестановки одних и тех же элементов внутри выборки.
Примеры решения задач
Разберем, как работает эта формула на конкретных примерах, где порядок выбора объектов не играет роли.
Задача 1 (Выборы в комитет). В студенческой группе учится 10 человек. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов на общеуниверситетскую конференцию?
Поскольку все делегаты имеют равный статус, порядок их выбора совершенно не важен (выбрать сначала Иванова, а потом Петрова — это то же самое, что наоборот). Общее количество элементов $n = 10$, объем выборки $k = 3$. Применим формулу сочетаний:
$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} =$$$$ \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120$$
Существует ровно 120 уникальных вариантов собрать тройку делегатов.
Задача 2 (Карточная раздача). Игрок получает на руки 2 карты из колоды, в которой содержатся буквы А, Б, В и Г. Сколько различных комбинаций карт он может получить?
В этой задаче размер множества доступных элементов $n = 4$, а длина выборки $k = 2$. Так как порядок карт в руке значения не имеет, подставим параметры в формулу:
$$C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 6$$
Из данного набора можно получить ровно 6 вариантов пар карт. Ниже наглядно представлены все возможные исходы такой выборки:
Обратите внимание, что комбинации вроде «БА» или «ВА» здесь отсутствуют, так как они полностью совпадают по составу с уже записанными парами «АБ» и «АВ».
Задача 3 (Шахматный турнир). В шахматном турнире принимают участие 6 гроссмейстеров. Каждый из них должен сыграть с каждым по одной партии. Сколько всего встреч будет проведено в рамках турнира?
Каждая партия играется между двумя участниками, при этом пара игроков (например, Каспаров — Карпов) уникальна и порядок их упоминания не важен. Количество участников $n = 6$, размер выборки для одной игры $k = 2$. Применим формулу:
$$C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 15$$
В турнире будет сыграно ровно 15 шахматных партий.
В отличие от размещений, число сочетаний без повторений сначала увеличивается с ростом выборки $k$, достигает своего максимума строго посередине множества, а затем симметрично убывает. Например, для множества из 10 элементов выбрать 2 объекта можно 45 способами ($C_{10}^2 = 45$), выбрать 5 объектов — максимум 252 способами ($C_{10}^5 = 252$), а выбрать 8 объектов — снова 45 способами ($C_{10}^8 = 45$). Эта симметрия объясняется тем, что каждый выбор $k$ элементов однозначно определяет $n-k$ оставшихся элементов.