Что такое система счисления
Система счисления – это набор правил записи чисел, при помощи цифр и букв.
Системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления, в которой вместо цифр используют буквы латинского алфавита. Например, число 240 в данной системе счисления запишется как CCXL. В непозиционных системах счисления не имеет значение позиция знака в записи числа, отсюда и название – непозиционная система счисления.
В позиционной системе счисления, напротив позиция числа имеет большое значение и определяет количественное значение числа. Примерами позиционной системы счисления выступает нам всем знакомая десятичная система счисления, а также двоичная, троичная и др.
Данный калькулятор перевода чисел из одной системы счисления в другую предназначен именно для позиционных систем счисления и дает наглядное понимание как перевести число из одной системы счисления в другую.
У каждой системы счисления есть основание, которое определяется количеством используемых цифр. Основание системы счисления определяет мощность алфавита – набору цифр, используемых в системе счисления. Самое маленькое основание в двоичной позиционной системе счисления, там для записи числа используют только две цифры – 0 и 1.
Рассмотрим две самые популярные системы счисления – двоичную и десятичную.
Десятичная система счисления является самой распространенной, в ней используется десять арабских цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Основание равно 10.
В десятичной системе счисления значение цифры в записи числа зависит от позиции цифры, например, число 444 можно записать как:
44410 = 4 ⋅ 102 + 4 ⋅ 101 + 4 ⋅ 100 = 400 + 40 + 4.
Такая запись числа называется развернутой. Можно заметить, что, двигаясь справа на лево значение каждой цифры увеличивается в 10 раз.
В двоичной системе счисления развернутая запись числа строиться аналогичным образом, рассмотрим число 1101111002:
1101111002 = 1 ⋅ 28 + 1 ⋅ 27 + 0 ⋅ 26 + 1 ⋅ 25 + 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 0 ⋅ 21 + 0 ⋅ 20 = 44410
Записав число 1101111002 в развернутом виде мы тем самым перевели его в десятичную систему счисления.
Рассмотрим пример, переведем число 100112 из двоичной системы в десятичную систему счисления
Переведем число
100112 в десятичную систему счисления, для этого сначала запишем позицию каждой цифры в числе с права налево, начиная с нуля
| Позиция в числе | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| Число | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Каждая позиция цифры будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число 10011
2 на 2 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
100112 = 1 ⋅ 24 + 0 ⋅ 23 + 0 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 = 1910
Теперь давайте посмотрим, как перевести число из десятичной системы счисления в двоичную.
Переведем число 1210 из десятичной в двоичную систему счисления
Переведем число
1210 в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 2, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.
| 12 | : | 2 | = | 6 | остаток: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | остаток: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | остаток: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | остаток: 1 |
1210 = 11002Как переводить десятичные дроби в двоичную систему счисления
Переведем число 12.310 из десятичной в двоичную систему счисления
При переводе десятичной дроби в двоичную систему счисления, необходимо сначала перевести целую часть в двоичную систему, а затем дробную часть. Причем для целой части мы будем последовательно делить на 2, а для дробной умножать на 2.
Переведем целую часть
12 числа 12.3
10 в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 2, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.
| 12 | : | 2 | = | 6 | остаток: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | остаток: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | остаток: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | остаток: 1 |
1210 = 11002Переведем дробную часть
0.3 числа 12.3
10 в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного умножения на 2, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль. В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
| 0.3 | · | 2 | = | 0.6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1.2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0.4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0.8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1.6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1.2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0.4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0.8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1.6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1.2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0.4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0.8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1.6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1.2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0.4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0.8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1.6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1.2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0.4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0.8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1.6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1.2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0.4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0.8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1.6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1.2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0.4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0.8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1.6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1.2 |
12
10 = 1100
2
0.310 = 0.0100110011001100110011001100112
Обратите внимание, что в результате умножения на 2 получается бесконечная двоичная дробь, поэтому в данном случае можно и дальше продолжать умножение, но в дробной части произведения ноль так и не получится. В таких случаях необходимо определить сколько чисел после запятой необходимо оставить. Из данного примера можно сделать вывод, что не всегда конечная десятичная дробь будет конечной в двоичной системе счисления и наоборот.
Теперь необходимо соединить получившиеся целую и дробную части.
12.310 = 1100.0100110011001100110011001100112Как перевести двоичную дробь в десятичную систему счисления
Переведем число 11.1012 из двоичной системы в десятичную систему счисления
Алгоритм перевода такой же, как и для целых чисел, только из двоичной дроби необходимо будет убрать точку, и как и в предыдущих примерах записать позицию цифр.
Переведем число
11.1012 в десятичную систему счисления, для этого сначала запишем позицию каждой цифры в числе
| Позиция в числе | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 |
| Число | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Каждая позиция цифры будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число 11.101
2 на 2 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
11.1012 = 1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 + 1 ⋅ 2-1 + 0 ⋅ 2-2 + 1 ⋅ 2-3 = 3.62510