Калькулятор расстояния между точками

Правила ввода чисел и функций

Десятичная дробь $$1.5$$

Для записи десятичной дроби используйте точку, например, 1.12

Обыкновенная дробь $$\frac{a}{b}$$

Для ввода обыкновенных дробей воспользуйтесь знаком «/» , например, 1/2 или 3/4

Произведение чисел $$a \cdot b$$

Для записи произведения используйте знак «*», например, 5 * 4 или 5 * (3^9)

Экспоненциальная запись $$2.3 \cdot 10^{15}$$

Для записи чисел в экспоненциальной форме используйте букву «e».

Примеры:

$$2.3 \cdot 10^{15}$$ записывается как 2.3e+15

$$5.1 \cdot 10^{-6}$$ записывается как 5.1e-6

Число Эйлера $$e$$

Математическая константа, основание натурального логарифма. Приблизительно равно $$2.71828$$

Для записи числа Эйлера введите «e», например, e^2.

Число $$\pi$$

Для записи числа π введите «π», либо «pi», например, sin(π).

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$ записывается как sqrt(x), где x – любое число или выражение. Например, $$\sqrt{3}$$ записывается как sqrt(3)

$$\sqrt{\frac{3}{5}}$$ записывается как sqrt(3/5)

$$\sqrt{3 \cdot 3}$$ записывается как sqrt(3*3)

Корень любой степени $$\sqrt[n]{x}$$

Корень любой степени можно записать при помощи возведения в дробную степень через знак «^».
Формула: $$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$$

Примеры:
Кубический корень $$\sqrt[3]{x}$$ записывается как x^(1/3)
Корень 5-й степени $$\sqrt[5]{32}$$ записывается как 32^(1/5)

Возведение в степень $$x^n$$

Для возведения в степень используйте знак «^», где
Примеры:

$$5^3$$ записывается как 5^(3)

$$\left(\sqrt{3}\right)^{-2}$$ записывается как sqrt(3)^(-2)

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$ у которого основание равно числу Эйлера (е = 2.7182818284...), записывается как ln(n), где n > 0. Например, $$\ln(7)$$ записывается как ln(7).

Абсолютная величина $$\left| x \right|$$

Абсолютная величина (модуль) $$\left| x \right|$$ записывается как Abs(x)
>
$$\left| x-2 \right| - \left| x+2 \right|$$ записывается как Abs(x-2)-Abs(x+2)

$$\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|}$$ записывается как Abs(x)/Abs(y)

Тригонометрические функции

Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sin(45*pi/180).

Примеры записи функций:
• Синус sin(x) записывается как sin(x)
• Косинус cos(x) записывается как cos(x)
• Тангенс tg(x), tan(x) записывается как tan(x)
• Котангенс ctg(x), cot(x) записывается как cot(x)
• Секанс sec(x) записывается как sec(x)
• Косеканс csc(x), cosec(x) записывается как csc(x)

Гиперболические функции

Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sinh(45*pi/180).

Примеры записи функций:
• Гиперболический синус sh(x), sinh(x) записывается как sinh(x)
• Гиперболический косинус ch(x), cosh(x) записывается как cosh(x)
• Гиперболический тангенс th(x), tanh(x) записывается как tanh(x)
• Гиперболический котангенс cth(x), coth(x) записывается как coth(x)
• Гиперболический секанс sch(x), sech(x) записывается как sech(x)
• Гиперболический косеканс csch(x) записывается как csch(x)

Обратные тригонометрические функции

Примеры записи функций:
• Арксинус arcsin(x) записывается как asin(x)
• Арккосинус arccos(x) записывается как acos(x)
• Арктангенс arctg(x), arctan(x) записывается как atan(x)
• Арккотангенс arcctg(x), arccot(x) записывается как acot(x)
• Арксеканс arcsec(x) записывается как asec(x)
• Арккосеканс arccsc(x) записывается как acsc(x)

Обратные гиперболические функции

Примеры записи функций:
• Ареасинус arsh(x), arsinh(x), sin⁻¹ записывается как asinh(x)
• Ареакосинус arch(x), arcosh(x), cosh⁻¹ записывается как acosh(x)
• Ареатангенс arth(x), artanh(x), tanh⁻¹ записывается как atanh(x)
• Ареакотангенс arcth(x), arcoth(x), coth⁻¹ записывается как acoth(x)
• Ареасеканс arsch(x), arsech(x), sech⁻¹ записывается как asech(x)
• Ареакосеканс arcsch(x), csch⁻¹ записывается как acsch(x)

Задайте размерность пространства, введите координаты двух точек в соответствующие поля и нажмите кнопку «Вычислить».

Задайте размерность пространства

Координаты точки А

; ;

Координаты точки B

; ;

Показать ход решения

Результат

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{\frac{613}{9}} = $$ $$8.2529456020933$$

Решение

Шаг 1. Запишем координаты заданных точек:

$$A(A_x\,;\,A_y;\,A_z) = A\left(1\,;\,\frac{2}{3};\,5\right)$$

$$B(B_x\,;\,B_y;\,B_z) = B\left(-7\,;\,1;\,3\right)$$

Шаг 2. Формула для вычисления расстояния между точками в пространстве имеет вид:

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2 + (B_z - A_z)^2}$$

Подставим координаты точек в формулу:

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{{\left(-7 - 1\right)}^{2} + {\left(1 - \frac{2}{3}\right)}^{2} + {\left(3 - 5\right)}^{2}}$$

Шаг 3. Выполним вычитание внутри скобок:

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{{\left(-8\right)}^{2} + {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2} + {\left(-2\right)}^{2}}$$

Шаг 4. Возведем полученные значения в квадрат и сложим их:

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{64+\frac{1}{9}+4}$$ $$ = \sqrt{\frac{613}{9}} = 8.2529456020933$$

О калькуляторе

Этот калькулятор находит расстояние между двумя точками как в двухмерном пространстве (на плоскости), так и в трехмерном пространстве. Для работы с математическими выражениями ознакомьтесь с правилами ввода чисел и функций вверху страницы.

В качестве координат точек можно вводить целые числа, десятичные и обыкновенные дроби, корни любой степени, константы $\pi$ и $e$, а также тригонометрические и гиперболические функции.

В блоке с решением выводится подробный пошаговый разбор вычислений. Калькулятор показывает поэтапный процесс расчета по формуле расстояния: от подстановки координат и вычитания внутри скобок до возведения полученных значений в квадрат и извлечения итогового арифметического корня.

Полученный результат можно скопировать в буфер обмена. Для этого просто нажмите на итоговое число. В таком формате его удобно переносить в другие программы или документы для дальнейших расчетов.

Теория: Как найти расстояние между точками плоскости и пространства

Расстояние между точками в Евклидовом пространстве – называется Евклидовой метрикой, либо Евклидовым расстоянием. Расстояние между двумя точками в Евклидовом пространстве вычисляется по теореме Пифагора $$c^2=a^2+b^2$$ и выражается формулой:

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{{(B_x - A_x)}^{2} + {(B_y - A_y)}^{2}}$$ - для вычисления длины отрезка плоскости

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{{(B_x - A_x)}^{2} + {(B_y - A_y)}^{2} + {(B_z - A_z)}^{2}}$$ - для вычисления длины отрезка пространства

Пример 1. Найдем расстояния между точками плоскости с координатами $$A(x\,;\,y)$$ и точки $$B(x\,;\,y)$$, где $$A(1\,;\,9)$$ и $$B(4\,;\,7)$$.
Тогда согласно формуле:

$$B_x = 4$$
$$A_x = 1$$
$$B_y = 7$$
$$A_y = 9$$

Подставим значения в формулу и вычислим расстояние между точками A и B:

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{{(B_x - A_x)}^{2} + {(B_y - A_y)}^{2}}$$

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{{\left(4 - 1\right)}^{2} + {\left(7 - 9\right)}^{2}}=$$ $$\sqrt{{\left(3\right)}^{2} + {\left(-2\right)}^{2}}=$$ $$\sqrt{9+4}=$$ $$\sqrt{13}=3.60555127546399$$

$$|\textbf{AB}| =\sqrt{13}=3.60555127546399$$

Пример 2. Найдем расстояния между точками пространства с координатами $$A(x\,;\,y\,;\,z)$$ и точки $$B(x\,;\,y\,;\,z)$$, где $$A(5\,;\,2\,;\,9)$$ и $$A(3\,;\,6\,;\,7)$$.
Тогда согласно формуле

$$B_x = 3$$
$$A_x = 5$$
$$B_y = 6$$
$$A_y = 2$$
$$B_z = 7$$
$$A_z = 9$$

Подставим значения в формулу и вычислим расстояние между точками A и B

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{{(B_x - A_x)}^{2} + {(B_y - A_y)}^{2} + {(B_z - A_z)}^{2}} $$

$$|\textbf{AB}| = \sqrt{{\left(3 - 5\right)}^{2} + {\left(6 - 2\right)}^{2} + {\left(7 - 9\right)}^{2}}=$$$$\sqrt{{\left(-2\right)}^{2} + {\left(4\right)}^{2} + {\left(-2\right)}^{2}}=$$$$\sqrt{4+16+4}=$$$$\sqrt{24}=4.89897948556636$$

$$|\textbf{AB}| =\sqrt{24}=4.89897948556636$$