Что такое двадцатитрехричная система счисления
-
Двадцатитрехричная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в двадцатитрехричной системе счисления используется десять цифр и тринадцать букв $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$, $L$ и $M$. Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $M6_{23}$ или $654_{23}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в двадцатитрехричную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в двадцатитрехричную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $23$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $345_{10}$ в двадцатитрехричную систему счисления:
$345 : 23 = 15$, остаток: $0$
$15 : 23 = 0$, остаток: $15$ ($15 = F$)
$345_{10} = F0_{23}$
Как перевести десятичную дробь в двадцатитрехричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в двадцатитрехричную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в двадцатитрехричную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $23$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $258312.0473_{10}$ в двадцатитрехричную систему счисления:
Переведем целую часть:
$258312 : 23 = 11230$, остаток: $22$ ($22 = M$)
$11230 : 23 = 488$, остаток: $6$
$488 : 23 = 21$, остаток: $5$
$21 : 23 = 0$, остаток: $21$ ($21 = L$)
$258312_{10} = L56M_{23}$
Переведем дробную часть:
$0.0473 \cdot 23 = 1.0879$
$0.0879 \cdot 23 = 2.0217$
$0.0217 \cdot 23 = 0.4991$
$0.4991 \cdot 23 = 11.4793$ ($11 = B$)
$0.4793 \cdot 23 = 11.0239$ ($11 = B$)
$0.0239 \cdot 23 = 0.5497$
$0.5497 \cdot 23 = 12.6431$ ($12 = C$)
$0.6431 \cdot 23 = 14.7913$ ($14 = E$)
$0.7913 \cdot 23 = 18.1999$ ($18 = I$)
$0.1999 \cdot 23 = 4.5977$
$0.0473_{10} = 0.120BB0CEI4_{23}$
$258312.0473_{10} = L56M.120BB0CEI4_{23}$
Двадцатитрехричные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной двадцатитрехричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая двадцатитрехричная дробь, поэтому умножение на $23$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $258312.0473$ не может быть точно представлена в двадцатитрехричной системе счисления.
Как перевести число из двадцатитрехричной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из двадцатитрехричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $23$, так как система счисления 23-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $23$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $3MM12C_{23}$ в десятичную систему счисления:
Для расчета учитываем, что:
$C_{23} = 12_{10}$
$M_{23} = 22_{10}$
$$\overset{5}{3}\overset{4}{M}\overset{3}{M}\overset{2}{1}\overset{1}{2}\overset{0}{C}_{23} = 3 \cdot 23^{5} + 22 \cdot 23^{4} + 22 \cdot 23^{3} + 1 \cdot 23^{2} + 2 \cdot 23^{1} + 12 \cdot 23^{0} = 25733792_{10}$$
Как перевести дробное двадцатитрехричное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное двадцатитрехричное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное двадцатитрехричное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $23$, так как система счисления 23-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $23$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное двадцатитрехричное число $D4.L93_{23}$ в десятичную систему:
Для расчета учитываем, что:
$D_{23} = 13_{10}$
$L_{23} = 21_{10}$
$$\overset{1}{D}\overset{0}{4}.\overset{-1}{L}\overset{-2}{9}\overset{-3}{3}_{23} = 13 \cdot 23^{1} + 4 \cdot 23^{0} + 21 \cdot 23^{-1} + 9 \cdot 23^{-2} + 3 \cdot 23^{-3} = 303.9303032793622092545409714792_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в двадцатитрехричной системе счисления