Теория: Что такое котангенс угла Котангенс угла — это тригонометрическая функция, определяющая отношение катетов в прямоугольном треугольнике, отношение косинуса к синусу или абсциссу точки пересечения луча угла с горизонтальной касательной к единичной окружности. Варианты обозначения функции В зависимости от математической школы и области применения (учебная литература, программирование, инженерные стандарты), функция котангенса имеет существенно различающиеся формы записи: $$\operatorname{ctg} \alpha$$ — традиционное отечественное обозначение, принятое в российской учебной литературе и странах СНГ. $$\cot \alpha$$ — международное обозначение функции котангенса. Именно эта форма является стандартом в зарубежной литературе, инженерных калькуляторах и электронных таблицах. $$\operatorname{cotan}(\alpha)$$ или $$\operatorname{cotg}(\alpha)$$ — альтернативные сокращенные варианты записи, встречающиеся в некоторых языках программирования и устаревших иностранных изданиях. $$\operatorname{cotangent}(\alpha)$$ — полное англоязычное наименование функции, используемое в зарубежной научно-технической литературе. Определение через прямоугольный треугольник Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с острым углом α, тогда котангенсом угла α будет отношение прилежащего катета к противолежащему ctg α = AB/BC. Котангенс угла можно определить как отношение косисуса угла к синусу данного угла ctg = cos α / sin α Геометрическое определение котангенса в прямоугольном треугольнике Определение через тригонометрическую окружность Так же для определения котангенса угла можно воспользоваться окружностью, построенной в декартовой системе координат, радиуса R и центром в начале координат O. На окружности отметим точку P с координатами (1;0), теперь повернем луч OP на некоторый угол α. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелки – отрицательным. Котангенсом угла α будет отношение абсциссы точки XP к ординате точки YP. ctg α = XP/YP. Определение котангенса через координаты точки на окружности Определение через ось котангенсов Для вычисления котангенса угла, можно также воспользоваться осью котангенсов. Определим окружность радиуса R как единичную с центром в начале координат O. Параллельно оси x, на расстоянии равном радиусу окружности расположим прямую y=1. На окружности отметим точку P с координатами (1;0), теперь повернем луч OP на некоторый угол α и продолжим луч OP до пересечения с прямой y=1. Котангенсу угла α будет соответствовать значение в точке B. Геометрическое представление функции на оси котангенсов Ключевые свойства функции котангенса Математические особенности и ограничения поведения функции: Область определения: функция имеет точки разрыва и не определена в местах, где синус равен нулю (что вызывает деление на ноль). В действительном пространстве это углы $\alpha = \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$ (или $180^\circ k$). Для остальных действительных и комплексных чисел котангенс полностью существует. Область значений: геометрически значения функции выходят далеко за рамки тригонометрической окружности. Множество значений для действительного аргумента включает всю числовую прямую, что записывается как $E(\operatorname{ctg}) = \mathbb{R}$. Четность (асимметрия): котангенс относится к категории нечетных функций. Знак, находящийся внутри аргумента, выносится перед функцией: $\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha$. Знаки по четвертям: являясь результатом деления абсциссы на ординату, котангенс совпадает по знакам с тангенсом. Он принимает положительные значения в I и III четвертях, а отрицательные — во II и IV четвертях. Периодичность: значения повторяются через каждые пол-оборота тригонометрического круга. Главный период функции составляет $\pi$ (или $180^\circ$), то есть $\operatorname{ctg}(\alpha + \pi k) = \operatorname{ctg} \alpha, \ k \in \mathbb{Z}$. Выражение котангенса через другие тригонометрические функции Взаимосвязь котангенса с остальными компонентами тригонометрической системы описывается следующими формулами: Через синус: $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha}$$ Через косинус: $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}$$ Через тангенс (обратное тождество): $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$$ Через секанс: $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\pm\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}}$$ Через косеканс: $$\operatorname{ctg} \alpha = \pm\sqrt{\operatorname{cosec}^2 \alpha - 1}$$ Математический знак перед корнем ($\pm$) устанавливается в соответствии с тем, в какой координатной четверти лежит исходный угол $\alpha$. Опорные значения функции котангенса Ниже приведены закономерности, определяющие поведение функции в ключевых точках (где $k \in \mathbb{Z}$): Равенство нулю: котангенс равен $0$ в тех же точках, где нулю равен косинус. Формула углов: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (в градусах: $\alpha = 90^\circ + 180^\circ k$). Равенство единице: значение $1$ достигается в I и III координатных четвертях. Формула углов: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$ (в градусах: $\alpha = 45^\circ + 180^\circ k$). Равенство минус единице: значение $-1$ достигается во II и IV координатных четвертях. Формула углов: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi k$ (в градусах: $\alpha = 135^\circ + 180^\circ k$). Таблица значений функции котангенса В таблице приведены точные значения котангенса для всех основных углов тригонометрической окружности. В точках, где синус равен нулю, функция котангенса не определена (—): Угол в градусах $$-360^\circ$$ $$-270^\circ$$ $$-180^\circ$$ $$-90^\circ$$ $$-60^\circ$$ $$-45^\circ$$ $$-30^\circ$$ $$0^\circ$$ $$30^\circ$$ $$45^\circ$$ $$60^\circ$$ $$90^\circ$$ $$180^\circ$$ $$270^\circ$$ $$360^\circ$$ Угол в радианах $$-2\pi$$ $$-\frac{3\pi}{2}$$ $$-\pi$$ $$-\frac{\pi}{2}$$ $$-\frac{\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{6}$$ $$0$$ $$\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{2}$$ $$\pi$$ $$\frac{3\pi}{2}$$ $$2\pi$$ Значение $$\operatorname{ctg} \alpha$$ — $$0$$ — $$0$$ $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$-1$$ $$-\sqrt{3}$$ — $$\sqrt{3}$$ $$1$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$0$$ — $$0$$ —