Результат действия деления называется частным. Когда нам необходимо узнать, чему равно деление числа \(a\) на число \(b\), мы используем термин «частное двух чисел», но в случае сравнения двух величин вместо слова «частное» используют слово «отношение». Термины «отношение» и «частное» означают одно и то же, следовательно, частное двух чисел называют отношением этих чисел, а сами числа — членами отношения.
Отношение двух чисел
Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.
Выражение \(a:b\) или \(\frac{a}{b}\) читается как «отношение числа \(a\) к числу \(b\)».
Приведем примеры на отношение двух чисел:
Пример 1. В ящике стола \(16\) карандашей и \(20\) ручек. Сравним количество ручек и карандашей. Найдем отношение числа ручек к числу карандашей. \(\frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1,25\). Следовательно, ручек в \(1,25\) раза больше, чем карандашей. Если найти обратное отношение \(\frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0,8\), то можно сказать, что карандаши составляют \(\frac{4}{5}\) от числа ручек.
Приmer 2. В этом году урожай моркови составил \(20\) тонн, а в прошлом — всего \(10\) тонн. Найти отношение количества урожая в этом году к количеству урожая в прошлом. \(\frac{20}{10} = 2\). Тогда можно сказать, отношение количества урожая моркови этого года к количеству урожая моркови в прошлом году равно \(2\), либо количество урожая этого года относится к количеству урожая прошлого года как \(20:10 = 2:1\), так как \(\frac{20}{10} = \frac{2}{1}\).
Пример 3. В классе \(30\) человек, \(16\) из которых учатся на отлично. Какую часть класса составляют отличники? Для того чтобы определить, какую часть класса составляют отличники, возьмем отношение \(16:30\). Затем запишем это отношение в виде дроби и упростим: \(\frac{16}{30} = \frac{8}{15}\), получившийся ответ означает, что число отличников составляет \(\frac{8}{15}\) всего класса.
Пример 4. От проволоки, длина которой составляет \(7\) см, отрезали кусок размером \(2\) см. Какую часть проволоки отрезали? Для ответа на вопрос задачи возьмем отношение \(2:7\) и запишем его в виде дроби \(\frac{2}{7}\). Значит, \(2\) см составляют \(\frac{2}{7}\) всей проволоки.
Деление в данном отношении
Иногда приходится делить какую-либо величину на части в заданном отношении, например, разделить \(30\) конфет в отношении \(3:2\), разделить \(30\) кг сахара в отношении \(7:6\) и т.д.
Запомните правило: чтобы разделить число в отношении \(a:b\), необходимо:
- 1. Сложить члены отношения \(a\) и \(b\).
- 2. Разделить число на сумму \(a\) и \(b\): \(\frac{\text{число}}{a + b}\).
- 3. Умножить частное на \(a\): \(\frac{\text{число}}{a + b} \cdot a\).
- 4. Умножить частное на \(b\): \(\frac{\text{число}}{a + b} \cdot b\).
Вы можете воспользоваться калькулятором деления числа в данном отношении и получить подробное решение.
Приведем примеры на деление числа в данном отношении:
Пример 1. Разделить число \(16\) в отношении \(6:3\).
- 1) \(\frac{16}{6 + 3} \cdot 6 = \frac{96}{9} = \frac{32}{3} = 10,6667\)
- 2) \(\frac{16}{6 + 3} \cdot 3 = \frac{48}{9} = \frac{16}{3} = 5,3333\)
Ответ: \(10,6667\); \(5,3333\)
Пример 2. Разделить число \(370\) в отношении \(15:27\).
- 1) \(\frac{370}{15 + 27} \cdot 15 = \frac{925}{7} = 132,1429\)
- 2) \(\frac{370}{15 + 27} \cdot 27 = \frac{1665}{7} = 237,85\)
Ответ: \(132,1429\); \(237,85\)
Пример 3. Разделить дробь \(\frac{7}{5}\) в отношении \(4:3\).
Решение:
Давайте решать строго по нашему правилу, чтобы не запутаться с обыкновенными дробями.
- Шаг 1. Находим общее количество частей.
Складываем члены отношения: \(4 + 3 = 7\) частей всего.
- Шаг 2. Узнаем, сколько приходится на одну часть.
Для этого нам нужно разделить исходную дробь \(\frac{7}{5}\) на общую сумму частей, то есть на \(7\) (или \(\frac{7}{1}\)).
Вспоминаем правило деления дробей: чтобы разделить на число, нужно умножить на перевернутую дробь:
\(\frac{7}{5} : 7 = \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{5}\).
Значит, величина одной части равна \(\frac{1}{5}\).
- Шаг 3. Находим первую величину (4 части).
Умножаем величину одной части на \(4\) (первый член отношения):
\(\frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{4}{5}\).
Примечание: Это действие можно записать сразу через переворот дроби: \(\frac{7}{5} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{5}\). Результат получается абсолютно одинаковым!
- Шаг 4. Находим вторую величину (3 части).
Умножаем величину одной части на \(3\) (второй член отношения):
\(\frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5}\).
Примечание: В кратком виде это выглядит как: \(\frac{7}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{5}\).
Ответ: \(\frac{4}{5}\); \(\frac{3}{5}\)
Пример 4. Пусть необходимо разделить \(30\) конфет между двумя мальчиками в отношении \(2:3\). Решение:
- 1) \(\frac{30}{2 + 3} \cdot 2 = 12\)
- 2) \(\frac{30}{2 + 3} \cdot 3 = 18\)
Значит, первому мальчику нужно дать \(12\) конфет, а второму — \(18\).
Пример 5. Мария Ивановна и Анастасия Михайловна сложили деньги, чтобы закупить семена укропа. Мария Ивановна потратила \(26\) рублей, а Анастасия Михайловна — \(135\) рублей. Спустя время урожай укропа собрали и продали. Выручка составила \(750\) рублей. Как Мария Ивановна и Анастасия Михайловна должны поделить вырученные деньги? Решение: чтобы разделить деньги между женщинами, необходимо разделить \(750\) рублей в том отношении, в котором они эти деньги вложили в урожай укропа, то есть \(26:135\), следовательно:
- 1) Мария Ивановна получит \(\frac{750}{26 + 135} \cdot 26 = 121,118\) руб.
- 2) Анастасия Михайловна \(\frac{750}{26 + 135} \cdot 135 = 628,881\) руб.
Пример 6. Пусть необходимо разделить \(100\) кг сахара между тремя столовыми в отношении \(2:6:12\). Решение:
- 1) \(\frac{100}{2 + 6 + 12} \cdot 2 = 10\)
- 2) \(\frac{100}{2 + 6 + 12} \cdot 6 = 30\)
- 3) \(\frac{100}{2 + 6 + 12} \cdot 12 = 60\)
Ответ: первая столовая получит \(10\) кг сахара, вторая — \(30\) кг сахара и третья — \(60\) кг сахара.