Что такое двадцатисемеричная система счисления
-
Двадцатисемеричная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в двадцатисемеричной системе счисления используется десять цифр и семнадцать букв $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$, $O$, $P$ и $Q$. Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $AQ4_{27}$ или $112_{27}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн. А для выполнения математических операций и сравнения целых или дробных чисел в разных базисах используйте наш калькулятор для вычислений в разных системах счисления.
Как перевести целое десятичное число в двадцатисемеричную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в двадцатисемеричную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $27$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $521859_{10}$ в двадцатисемеричную систему счисления:
$521859 : 27 = 19328$, остаток: $3$
$19328 : 27 = 715$, остаток: $23$ ($23 = N$)
$715 : 27 = 26$, остаток: $13$ ($13 = D$)
$26 : 27 = 0$, остаток: $26$ ($26 = Q$)
$521859_{10} = QDN3_{27}$
Как перевести десятичную дробь в двадцатисемеричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в двадцатисемеричную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в двадцатисемеричную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $27$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $11641.141289_{10}$ в двадцатисемеричную систему счисления:
Переведем целую часть:
$11641 : 27 = 431$, остаток: $4$
$431 : 27 = 15$, остаток: $26$ ($26 = Q$)
$15 : 27 = 0$, остаток: $15$ ($15 = F$)
$11641_{10} = FQ4_{27}$
Переведем дробную часть:
$0.141289 \cdot 27 = 3.814803$
$0.814803 \cdot 27 = 21.999681$ ($21 = L$)
$0.999681 \cdot 27 = 26.991387$ ($26 = Q$)
$0.991387 \cdot 27 = 26.767449$ ($26 = Q$)
$0.767449 \cdot 27 = 20.721123$ ($20 = K$)
$0.721123 \cdot 27 = 19.470321$ ($19 = J$)
$0.470321 \cdot 27 = 12.698667$ ($12 = C$)
$0.698667 \cdot 27 = 18.864009$ ($18 = I$)
$0.864009 \cdot 27 = 23.328243$ ($23 = N$)
$0.328243 \cdot 27 = 8.862561$
$0.141289_{10} = 0.3LQQKJCIN8_{27}$
$11641.141289_{10} = FQ4.3LQQKJCIN8_{27}$
Двадцатисемеричные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной двадцатисемеричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая двадцатисемеричная дробь, поэтому умножение на $27$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $11641.141289$ не может быть точно представлена в двадцатисемеричной системе счисления.
Как перевести число из двадцатисемеричной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из двадцатисемеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $27$, так как система счисления 27-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $27$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $MB4Q_{27}$ в десятичную систему счисления:
Для расчета учитываем, что:
$B_{27} = 11_{10}$
$M_{27} = 22_{10}$
$Q_{27} = 26_{10}$
$$\overset{3}{M}\overset{2}{B}\overset{1}{4}\overset{0}{Q}_{27} = 22 \cdot 27^{3} + 11 \cdot 27^{2} + 4 \cdot 27^{1} + 26 \cdot 27^{0} = 441179_{10}$$
Как перевести дробное двадцатисемеричное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное двадцатисемеричное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное двадцатисемеричное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $27$, так как система счисления 27-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $27$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное двадцатисемеричное число $D5.Q12_{27}$ в десятичную систему:
Для расчета учитываем, что:
$D_{27} = 13_{10}$
$Q_{27} = 26_{10}$
$$\overset{1}{D}\overset{0}{5}.\overset{-1}{Q}\overset{-2}{1}\overset{-3}{2}_{27} = 13 \cdot 27^{1} + 5 \cdot 27^{0} + 26 \cdot 27^{-1} + 1 \cdot 27^{-2} + 2 \cdot 27^{-3} = 356.9644363156022963979068231459_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в двадцатисемеричной системе счисления