Уведомление

Мы и выбранные партнеры используем файлы «cookie» или аналогичные технологии, указанные в политике в отношении файлов «cookie».
Вы можете дать согласие на использование таких технологий, прокручивая эту страницу, используя любую ссылку или кнопку за пределами этого уведомления или продолжая просматривать материалы иным способом.
Дополнительно о категориях собираемой личной информации и целях, в которых такая информация будет использоваться, см. в наших правилах обеспечения конфиденциальности персональных данных.

Уведомление для калифорнийских потребителей

0
AC +/- ÷
7 8 9 ×
4 5 6 -
1 2 3 +
0 00 , =

Калькулятор комплексных чисел с решением

Калькулятор комплексных чисел выполнит: сложение, вычитание, умножение и деление двух комплексных чисел. Выполнит представление комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, возведение в вещественную и комплексную степень, комплексного и вещественного числа. Найдет: модуль, аргумент, сопряженное число, обратную величину, аддитивную инверсию, корень n-й степени, логарифм, комплексную экспоненту, синус, косинус, тангенс, гиперболический синус, гиперболический косинус, гиперболический тангенс, арксинус, арккосинус и арктангенс. Калькулятор даст подробный ход решения примера.


Формы представления комплексных чисел

z = a + bi
z1 = + i

z2 = + i

Теория

Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.
Сложение вещественного и комплексного числа, представленного в алгебраической форме.
Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.
Вычитание комплексного числа из вещественного числа.
Вычитание вещественного числа из комплексного числа.
Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.
Умножение вещественного и комплексного числа, записанного в алгебраической форме.
Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.
Деление комплексного числа, представленного в алгебраической форме на вещественное число.
Деление вещественного числа на комплексное число, представленного в алгебраической форме.
Сложение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.
Вычитание комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.
Умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.
Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.
Сложение комплексных чисел, представленных в показательной форме.
Вычитание комплексных чисел, представленных в показательной форме.
Умножение комплексных чисел, представленных в показательной форме.
Деление комплексных чисел, представленных в показательной форме.
Модуль комплексного числа.
Аргумент комплексного числа.
Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в тригонометрической форме.
Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в показательной форме.
Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в алгебраической форме.
Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в показательной форме.
Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в тригонометрической форме.
Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в алгебраической форме.
Сопряженное число комплексного числа, записанного в алгебраической форме.
Сопряженное число комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.
Сопряженное число комплексного числа, записанного в показательной форме.
Обратная величина комплексного числа, записанного в алгебраической форме.
Обратная величина комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.
Обратная величина комплексного числа, записанного в показательной форме.
Аддитивная инверсия комплексного числа.
Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в алгебраической форме.
Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.
Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме.

Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Для того, чтобы сложить два комплексных числа представленных в алгебраической форме, нужно сложить их вещественные и мнимые части:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Приведем примеры:

Пример 1. Сложим два комплексных числа 2 + 3i и 1.6 + 7i

(2 + 3i) + (1.6 + 7i) = (2 + 1.6) + (3 + 7)i = 3.6 + 10i


Пример 2. Сложим два комплексных числа 3 + 4i и 8 − 6i

(3 + 4i) + (8 − 6i) = (3 + 8) + (4 − 6i) = 11 − 2i


Сложение вещественного и комплексного числа, представленного в алгебраической форме

Чтобы сложить комплексное число a + bi и вещественное число c, необходимо прибавить к вещественной части комплексного числа вещественное число:
(a + bi) + с = (a + c) + bi

Приведем примеры:

Пример 1. Сложим комплексное число 2 + 3i и вещественное число 10

(2 + 3i) + 10 = (2 + 10) + 3i = 12 + 3i


Пример 2. Сложим комплексное число −6 + 3i и вещественное число -23

(−6 + 3i) + (−23) = (−6 + (−23)) + 3i = −29 + 3i


Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Для того, чтобы вычесть два комплексных числа представленных в алгебраической форме, нужно вычесть их вещественные и мнимые части:
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Приведем примеры:

Пример 1. Вычтем два комплексных числа 3 + 9i и 5 + 6i

(3 + 9i) − (5 + 6i) = (3 − 5) + (9 − 6)i = −2 + 3i


Пример 2. Вычтем два комплексных числа 6 + 23i и 57 + 68i

(6 + 23i) − (57 + 68i) = (6 − 57) + (23 − 68)i = −51 − 45i


Вычитание комплексного числа из вещественного числа

Чтобы вычесть из вещественного числа a комплексное число c + di, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
a − (c + di) = (a − c) − di

Приведем примеры:

Пример 1. Вычтем из вещественного числа 6 комплексное число 1 + 7i

6 − (1 + 7i) = (6 − 1) + 7i = 5 − 7i


Пример 2. Вычтем из вещественного числа -15 комплексное число 1 + (−7)i

−15 − (1 + (−7)i) = (−15 − 1) − (−7)i = −16 + 7i


Вычитание вещественного числа из комплексного числа

Чтобы вычесть из комплексного числа a + bi вещественное число c, необходимо вычесть из действительной части комплексного числа вещественное число:
(a + bi) − с = (a − c) + bi

Приведем примеры:

Пример 1. Вычтем из комплексного числа 5 + 12i вещественное число 8

(5 + 12i) − 8 = (5 − 8) + 12i = −3 + 12i


Пример 2. Вычтем из комплексного числа −1 + (−5)i вещественное число −3

(−1 + (−5)i) − (−3) = (−1 − (−3)) + (−5)i = 2 − 5i


Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Для того чтобы умножить два комплексных числа записанных в алгебраической форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
(a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac + bdi2) + (bc + ad)i = (ac − bd) + (bc + ad)i

Приведем примеры:

Пример 1. Умножим два комплексных числа 2 + 5i и 3 + 7i

Решение 1
(2 + 5i) × (3 + 7i) = ((2 × 3) − (5 × 7)) + ((5 × 3) + (2 × 7))i = (6 − 35) + (15 + 14)i = −29 + 29i
Решение 2
(2 + 5i) × (3 + 7i) = (2 × 3) + (2 × 7i) + (5i × 3) + (5i × 7i) = 6 + (14i) + (15i) + (35i2) = 6 + (29i) + (35 × (−1)) = −29 + 29i


Пример 2. Умножим два комплексных числа 0.4 + (−2)i и 3.023 + 0.25i

Решение 1
(0.4 + (−2)i) × (3.023 + 0.25i) = ((0.4 × 3.023) − (−2 × 0.25)) + (((−2) × 3.023) + (0.4 × 0.25))i = (1.2092 − (−0.5)) + (−6.046 + 0.1)i = 1.7092−5.946i
Решение 2
(0.4 + (−2)i) × (3.023 + 0.25i) = (0.4 × 3.023) + (0.4 × 0.25i) + ((−2)i × 3.023) + ((−2)i × 0.25i) = 1.2092 + (0.1i) + (−6.046i) + (−0.5i2) = 1.2092 + (−5.946i) + ((−0.5 × (−1))) = 1.7092 − 5.946i


Умножение вещественного и комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Для того чтобы умножить вещественное число a на комплексное число c + di, необходимо вещественную и комплексную части числа c + di умножить на это число:
a × (c + di) = ac + adi

Приведем примеры:

Пример 1. Умножим комплексное число 3 + 4i и вещественное число 1

1 × (3 + 4i) = (1 × 3) + (1 × 4)i = 3 + 4i


Пример 2. Умножим комплексное число −5 + 4i и вещественное число −74

−74 × (−5 + 4i) = (−74 × (−5)) + (−74 × 4)i = 370 − 296i


Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Для того чтобы разделить два комплексных числа записанных в алгебраической форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
a + bi =
c + di
(a + bi) × (c − di) =
(c + di) × (c − di)
ac + bd +
c2 + d2
bc − ad
c2 + d2



i

Приведем примеры:

Пример 1. Разделим комплексное число 4 + 3i на комплексное число 5 + 8i

(4 + 3i) =
(5 + 8i)
(4 + 3i) × (5 − 8i) =
(5 + 8i) × (5 − 8i)
(4 × 5) + (3 × 8) +
(52 + 82)
(3 × 5) − (4 × 8)
(52 + 82)



i =
(20 + 24) +
(25 + 64)
15 − 32
25 + 64



i =
44 +
89
−17
89



i
= 0.49438202247191−0.191011235955056i


Пример 2. Разделим комплексное число 6 + (−2)i на комплексное число −4 + 7i

(6 + (−2)i) =
(−4 + 7i)
(6 + (−2)i) × (−4 − 7i) =
(−4 + 7i) × (−4 − 7i)
(6 × (−4)) + (−2 × 7) +
(−42 + 72)
(−2 × (−4)) − (6 × 7)
(−42 + 72)



i =
(−24 + (−14)) +
(16 + 49)
8 − 42
16 + 49



i =
−38 +
65
−34
65



i
= −0.584615384615385−0.523076923076923i


Деление комплексного числа, представленного в алгебраической форме на вещественное число

Для того чтобы разделить комплексное число a + bi на вещественное число c, необходимо вещественную часть комплексного числа разделить на вещественное число и мнимую часть комплексного числа разделить на вещественное число:
a + bi =
c
a +
c
bi
c

Приведем пример:

Разделим комплексное число 3 + 6i на вещественное число 7

(3 + 6i) =
7
3 +
7
6
7



i
= 0.428571428571429 + 0.857142857142857i


Деление вещественного числа на комплексное число, представленного в алгебраической форме

Для того чтобы разделить вещественное число a на комплексное число c + di, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
a =
c + di
a × (c − di) =
(c + di) × (c − di)
ac
c2 + d2
ad
c2 + d2



i

Приведем пример:

Разделим вещественное число 5 на комплексное число 2 + 9i

5 =
(2 + 9i)
5 × (2 − 9i) =
(2 + 9i) × (2 − 9i)
5 ×
(22 + 92)
5 ×
(22 + 92)



i =
10
(4 + 81)
45
4 + 81



i =
10
85
45
85



i
= 0.117647058823529−0.529411764705882i


Сложение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Для того чтобы сложить два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
z1 + z2 = (|z1| × (cos α + i sin α)) + (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) + (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) + (|z2| × sin β)), где

|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2

Приведем пример:

Сложим два комплексных числа √13 (cos 48° + i sin 48°) и √25 (cos 69° + i sin 69°)

√13 (cos 48° + i sin 48°) + √25 (cos 69° + i sin 69°) = ((√13 × cos(48°)) + (√25 × cos(69°))) + i((√13 × sin(48°)) + (√25 × sin(69°))) = (2.41258471120918 + 1.7918397477265) + (2.67944677335447 + 4.667902132486)i = 4.20442445893568 + 7.34734890584047i


Вычитание комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Для того чтобы вычесть два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
z1 − z2 = (|z1| × (cos α + i sin α)) − (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) − (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) − (|z2| × sin β)), где

|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2

Приведем пример:

Вычтем из два комплексного числа 1/2 (cos π/2 + i sin π/2) число 1/3 (cos π/3 + i sin π/3)

1/2 (cos π/2 + i sin π/2) − 1/3 (cos π/3 + i sin π/3) = ((1/2 × cos((π/2))) − (1/3 × cos((π/3)))) + i((1/2 × sin((π/2))) − (1/3 × sin((π/3)))) = (0 − 0.166666666666666) + (0.5 − 0.288675134594813)i = −0.166666666666666 + 0.211324865405187i


Умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Для того чтобы умножить два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
z1 × z2 = (|z1| × |z2|) × (cos(α + β) + i × sin(α + β)), где

|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2

Приведем пример:

Умножим два комплексных числа 2 (cos π/2 + i sin π/2) и 2 (cos π/3 + i sin π/3)

2 (cos π/2 + i sin π/2) × 2 (cos π/3 + i sin π/3) = (2 × 2) × (cos(π/2 + (π/3)) + i × sin(π/2 + (π/3))) =

16
× (cos(5π/6) + i × sin(5π/6)) =
16
× (cos(150°) + i × sin(150°))


Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Для того чтобы разделить два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
z1 ÷ z2 = (|z1| ÷ |z2|) × (cos(α − β) + i × sin(α − β)), где

|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2

Приведем пример:

Разделим два комплексных числа 3 (cos 45° + i sin 45°) и 2 (cos 37° + i sin 37°)

3 (cos 45° + i sin 45°) ÷ 2 (cos 37° + i sin 37°) = (3 ÷ 2) × (cos(45° − 37°) + i × sin(45° − 37°)) =

2.25
× (cos(8°) + i × sin(8°))=
2.25
× (cos(2π/45) + i × sin(2π/45))


Сложение комплексных чисел, представленных в показательной форме

Для того чтобы сложить два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z1| e + |z2| e = (|z1| × (cos α + i sin α)) + (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) + (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) + (|z2| × sin β)), где

|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2

Приведем пример:

Сложим два комплексных числа 3 × e(π/2)i и 2 × e(3π/2)i

3 × e(π/2)i + 2 × e(3π/2)i = ((3 × cos((π/2))) + (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin((π/2))) + (2 × sin((3π/2)))) = (0 + 0) + (3 + (−2))i = 0 + 1i


Вычитание комплексных чисел, представленных в показательной форме

Для того чтобы вычесть два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z1| e − |z2| e = (|z1| × (cos α + i sin α)) − (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) − (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) − (|z2| × sin β)), где

|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2

Приведем пример:

Вычтем из числа 3 × e(π/2)i число 2 × e(3π/2)i

3 × e(π/2)i - 2 × e(3π/2)i = ((3 × cos((π/2))) − (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin((π/2))) − (2 × sin((3π/2)))) = (0 − 0) + (3 − (−2))i = 0 + 5i


Умножение комплексных чисел, представленных в показательной форме

Для того чтобы умножить два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z1| e × |z2| e = (|z1| × |z2|) × (cos(α + β) + i × sin(α + β)), где

|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2

Приведем пример:

Умножим два комплексных числа 3 × e(π/2)i и 2 × e(3π/2)i

(3 × e(π/2)i) × (2 × e(3π/2)i) = (3 × 2) × (cos(π/2 + (3π/2)) + i × sin(π/2 + (3π/2))) =

36
× (cos(360°) + i × sin(360°)) = 6 + 0i


Деление комплексных чисел, представленных в показательной форме

Для того чтобы разделить два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z1| e ÷ |z2| e = (|z1| ÷ |z2|) × (cos(α − β) + i × sin(α − β)), где

|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2

Приведем пример:

Разделим два комплексных числа 3 × e(π/2)i и 2 × e(3π/2)i

(3 × e(π/2)i) ÷ (2 × e(3π/2)i) = (3 ÷ 2) × (cos(π/2 − (3π/2)) + i × sin(π/2 − (3π/2))) =

2.25
× (cos(−180°) + i × sin(−180°)) =
2.25
× (cos(−π) + i × sin(−π)) = −1.5 + 0i


Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:
|z| =
a2 + b2

Приведем пример:

Найдем модуль комплексного числа 1 + 3i

|1 + 3i| =
12 + 32
=
1 + 9
=
10
= 3.16227766016838

Аргумент комплексного числа

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ между радиус−вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:
Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0
Главное значение аргумента, должно принимать такое значение, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно главное значение аргумента.

Приведем пример:

Найдем аргумент комплексного числа −4 + 7i

Arg(−4 + 7i) = arctg(7/(−4)) + π = 2.08994244104142 радиан
Arg(−4 + 7i) = 119.744881296942° градусов

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в тригонометрической форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в алгебраической форме в тригонометрической форме, необходимо найти модуль и аргумент данного комплексного числа.
z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:
|z| =
a2 + b2

Приведем пример:

Представим число 2 + 3i в тригонометрической форме

|2 + 3i| =
22 + 32
=
4 + 9
=
13
= 3.60555127546399

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ между радиус−вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:
Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0
Главное значение аргумента, должно принимать такое значение, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно главное значение аргумента.

Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 0.982793723247329 радиан
Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 56.3099324740202° градусов


Теперь можно записать комплексное число z в тригонометрической форме:

z = 2 + 3i =
13
× (cos(arctg(3/2)) + sin(arctg(3/2))i) = 3.60555127546399 × (cos(56.3099324740202°) + sin(56.3099324740202°)i)

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в показательной форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в алгебраической форме в показательной форме, необходимо найти модуль и аргумент данного комплексного числа.
z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:
|z| =
a2 + b2

Приведем пример:

Представим число 2 + 2i в показательной форме

|2 + 2i| =
22 + 22
=
4 + 4
=
8
= 2.82842712474619

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ между радиус−вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:
Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0
Главное значение аргумента, должно принимать такое значение, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно главное значение аргумента.

Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 0.785398163397448 радиан
Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 45° градусов


Теперь можно записать комплексное число z в показательной форме:

z = 2 + 2i =
8
× e0.785398163397448i =
8
× e45°i =
8
× e(π/4)i

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в алгебраической форме

Чтобы представить комплексное число записанное в тригонометрической форме в алгебраической форме z = a + bi, необходимо вещественную часть a представить как cos φ умножить на модуль |z|, а мнимую часть b как sin φ умножить на модуль |z| комплексного числа z.
|z| (cos φ + i sin φ) = (|z| × (cos φ)) + (|z| × (sin φ)i) = a + bi, где

a = |z| × cos φ
b = |z| × sin φ

Приведем пример:

Представим число 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в алгебраической форме


2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × (0.5 + 0.86602540378444i) = (2 × 0.5) + (2 × 0.86602540378444i) = 1 + 1.73205080756888i

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в показательной форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в тригонометрической форме в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z| × (cos φ + i sin φ) = |z| eφi, где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Представим число 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в показательной форме

2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × e60°i = 2 × e(π/3)i

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в тригонометрической форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z| eφi = |z| × (cos φ + i sin φ), где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Представим число 2 × e(π/3)i в тригонометрической форме

2 × e(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i)

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в алгебраической форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в алгебраической форме, следует сначала это число представить в тригонометрической форме.
|z| eφi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Чтобы представить комплексное число записанное в тригонометрической форме в алгебраической форме z = a + bi, необходимо вещественную часть a представить как cos φ умножить на модуль |z|, а мнимую часть b как sin φ умножить на модуль |z| комплексного числа z.
|z| (cos φ + i sin φ) = (|z| × (cos φ)) + (|z| × (sin φ)i) = a + bi, где
a = |z| × cos φ
b = |z| × sin φ

Приведем пример:

Представим число 2 × e(π/3)i в алгебраической форме

2 × e(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2 × (0.5 + 0.86602540378444i) = (2 × 0.5) + (2 × 0.86602540378444i) = 1 + 1.73205080756888i

Сопряженное число комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = a + bi сопряженным число является z = a − bi.

Приведем пример:

Найдём сопряженное число для числа 2 + 3i

2 + 3i = 2 − 3i

Сопряженное число комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = |z| (cos φ + i sin φ) сопряженным число является z = |z| (cos φ − i sin φ).

Приведем пример:

Найдём сопряженное число для числа 2(cos((π/3)) + sin((π/3))i)

2(cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2(cos((π/3)) − sin((π/3))i)

Сопряженное число комплексного числа, записанного в показательной форме

Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = |z| e сопряженным число является z = |z| e−iφ.

Приведем пример:

Найдём сопряженное число для числа 2 × e(π/3)i

2 × e(π/3)i = 2 × e − (π/3)i

Обратная величина комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Для каждого комплексного числа, отличного от нуля существует обратное число. Чтобы найти обратное число для числа a + bi, необходимо единицу разделить на это число. Так как в качестве делимого выступает единица, то формула для деления упрощается и принимает вид:
1 =
a + bi
1 × (a − bi) =
(a + bi) × (a − bi)
a
a2 + b2
b
a2 + b2



i

Приведем пример:

Найдём обратную величину для числа 2 + 3i

1 =
(2 + 3i)
2
(22 + 32)
3
(22 + 32)



i =
2
(4 + 9)
3
4 + 9



i =
2
13
3
13



i
= 0.153846153846154−0.230769230769231i

Обратная величина комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Чтобы вычислить обратное число для числа, представленного в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
1/z = 1/|z| × (cos φ − i sin φ), где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Найдём обратную величину для числа 2(cos((π/2)) + sin((π/2))i)

1/z = 1/2 × (cos (π/2) − i sin π/2) =
0.25
× (cos(π/2) − i × sin(π/2))

Обратная величина комплексного числа, записанного в показательной форме

Чтобы вычислить обратное число для числа, представленного в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
1/z = (1/|z|)e−iφ, где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Найдём обратную величину для числа 2 × ei(π/2)

1/z = 1/2 × e−i (π/2) =
0.25
× e−i (π/2)

Аддитивная инверсия комплексного числа

Аддитивная инверсия комплексного числа – это такое число, которое при добавлении к нему исходного числа дает ноль. Аддитивная инверсия комплексного числа представляет собой число в котором действительные и мнимые части умножаются на −1. Для того чтобы умножить число −1 на комплексное число a + bi. необходимо вещественную и комплексную части числа a + bi умножить на это число:
−1 × (a + bi) = (−1 × a) + (−1 × bi)

Приведем пример:

Найдём аддитивную инверсию для числа z = 2 + 3i

−z = (−1 × 2) + (−1 × 3)i = −2−3i

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Извлечем корень 3 степени из числа 3 + 2i

Чтобы извлечь корень n−й степени из ненулевого комплексного числа. необходимо сначала данное число представить в тригонометрической форме.

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в алгебраической форме в тригонометрической форме, необходимо найти модуль и аргумент данного комплексного числа.
z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:
|z| =
a2 + b2
|3 + 2i| =
32 + 22
=
9 + 4
=
13
= 3.60555127546399

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ между радиус−вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:
Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0
Главное значение аргумента, должно принимать такое значение, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно главное значение аргумента.

Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 0.588002603547568 радиан
Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 33.6900675259798° градусов


Теперь можно записать комплексное число z в тригонометрической форме:

z = 3 + 2i =
13
× (cos(arctg(2/3)) + sin(arctg(2/3))i) = 3.60555127546399 × (cos(33.6900675259798°) + sin(33.6900675259798°)i)

Применим формулу Муавра чтобы извлечь корень n−й степени:
n√z = n√|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
n – степень корня (количество корней)
k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1


z1 = 3
3.60555127546399
× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 0)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 0)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 11.2300225086599°)) + (1.53340623701639 × (sin 11.2300225086599°))i = 1.50404648119798 + 0.298628314325244i

z2 = 3
3.60555127546399
× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 360)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 360)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 131.23002250866°)) + (1.53340623701639 × (sin 131.23002250866°))i = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i

z3 = 3
3.60555127546399
× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 720)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 720)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 251.23002250866°)) + (1.53340623701639 × (sin 251.23002250866°))i = −0.493403534104007 − 1.45185661835266i


z1 = 1.50404648119798 + 0.298628314325244i
z2 = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i
z3 = −0.493403534104007 − 1.45185661835266i


z1 = 1.53340623701639 × (cos(11.2300225086599°) + i sin(11.2300225086599°))
z2 = 1.53340623701639 × (cos(131.23002250866°) + i sin(131.23002250866°))
z3 = 1.53340623701639 × (cos(251.23002250866°) + i sin(251.23002250866°))

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Извлечем корень 3 степени из числа 3(cos((π/5)) + sin((π/5))i)

Применим формулу Муавра чтобы извлечь корень n−й степени:
n√z = n√|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
n – степень корня (количество корней)
k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1


z1 = 3
3
× (cos((36° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 0)/3) + i sin ((36° + 0)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 12°)) + (1.44224957030741 × (sin 12°))i = 1.41073295685556 + 0.299860546743801i

z2 = 3
3
× (cos((36° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 360)/3) + i sin ((36° + 360)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 132°)) + (1.44224957030741 × (sin 132°))i = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i

z3 = 3
3
× (cos((36° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 720)/3) + i sin ((36° + 720)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 252°)) + (1.44224957030741 × (sin 252°))i = −0.445679627354959 − 1.37166085196474i


z1 = 1.41073295685556 + 0.299860546743801i
z2 = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i
z3 = −0.445679627354959 − 1.37166085196474i


z1 = 1.44224957030741 × (cos(12°) + i sin(12°))
z2 = 1.44224957030741 × (cos(132°) + i sin(132°))
z3 = 1.44224957030741 × (cos(252°) + i sin(252°))

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме

Извлечем корень 3 степени из числа 2 × e45°i

Чтобы извлечь корень n−й степени из ненулевого комплексного числа. необходимо сначала данное число представить в тригонометрической форме,

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z| eφi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
2 × e45°i = 2 × (cos(45°) + sin(45°)i)

Применим формулу Муавра чтобы извлечь корень n−й степени:
n√z = n√|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
n – степень корня (количество корней)
k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1


z1 = 3
2
× (cos((45° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 0)/3) + i sin ((45° + 0)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 15°)) + (1.25992104989487 × (sin 15°))i = 1.2169902811787 + 0.326091563038355i

z2 = 3
2
× (cos((45° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 360)/3) + i sin ((45° + 360)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 135°)) + (1.25992104989487 × (sin 135°))i = −0.890898718140328 + 0.89089871814034i

z3 = 3
2
× (cos((45° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 720)/3) + i sin ((45° + 720)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 255°)) + (1.25992104989487 × (sin 255°))i = −0.326091563038355 − 1.2169902811787i


z1 = 1.2169902811787 + 0.326091563038355i
z2 = −0.890898718140328 + 0.89089871814034i
z3 = −0.326091563038355 − 1.2169902811787i


z1 = 1.25992104989487 × (cos(15°) + i sin(15°))
z2 = 1.25992104989487 × (cos(135°) + i sin(135°))
z3 = 1.25992104989487 × (cos(255°) + i sin(255°))



Вам могут также быть полезны следующие сервисы
Калькуляторы (Теория чисел)
Калькулятор выражений
Калькулятор со скобками
Калькулятор разложения числа на простые множители
Калькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
Калькулятор деления числа в данном отношении
Калькулятор процентов
Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
Калькулятор экспоненциальной записи чисел
Калькулятор нахождения факториала числа
Калькулятор нахождения логарифма числа
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор остатка от деления
Калькулятор корней с решением
Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
Калькулятор больших чисел
Калькулятор округления числа
Калькулятор свойств корней и степеней
Калькулятор комплексных чисел
Калькулятор среднего арифметического
Калькулятор арифметической прогрессии
Калькулятор геометрической прогрессии
Калькулятор модуля числа
Калькулятор абсолютной погрешности приближения
Калькулятор абсолютной погрешности
Калькулятор относительной погрешности
Дроби
Калькулятор интервальных повторений
Учим дроби наглядно
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
Калькулятор возведения дроби в степень
Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
Калькулятор сравнения дробей
Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
Калькуляторы (тригонометрия)
Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла
Калькулятор секанса угла
Калькулятор косеканса угла
Калькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла
Калькулятор арксеканса угла
Калькулятор арккосеканса угла
Калькулятор нахождения наименьшего угла
Калькулятор определения вида угла
Калькулятор смежных углов
Калькуляторы систем счисления
Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
Системы счисления теория
N2 | Двоичная система счисления
N3 | Троичная система счисления
N4 | Четырехичная система счисления
N5 | Пятеричная система счисления
N6 | Шестеричная система счисления
N7 | Семеричная система счисления
N8 | Восьмеричная система счисления
N9 | Девятеричная система счисления
N11 | Одиннадцатиричная система счисления
N12 | Двенадцатеричная система счисления
N13 | Тринадцатеричная система счисления
N14 | Четырнадцатеричная система счисления
N15 | Пятнадцатеричная система счисления
N16 | Шестнадцатеричная система счисления
N17 | Семнадцатеричная система счисления
N18 | Восемнадцатеричная система счисления
N19 | Девятнадцатеричная система счисления
N20 | Двадцатеричная система счисления
N21 | Двадцатиодноричная система счисления
N22 | Двадцатидвухричная система счисления
N23 | Двадцатитрехричная система счисления
N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
N25 | Двадцатипятеричная система счисления
N26 | Двадцатишестеричная система счисления
N27 | Двадцатисемеричная система счисления
N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
N30 | Тридцатиричная система счисления
N31 | Тридцатиодноричная система счисления
N32 | Тридцатидвухричная система счисления
N33 | Тридцатитрехричная система счисления
N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
N35 | Тридцатипятиричная система счисления
N36 | Тридцатишестиричная система счисления
Калькуляторы площади геометрических фигур
Площадь квадрата
Площадь прямоугольника
КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
Калькуляторы (Комбинаторика)
Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
Калькулятор сложения и вычитания матриц
Калькулятор умножения матриц
Калькулятор транспонирование матрицы
Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
Калькулятор нахождения обратной матрицы
Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
Калькулятор сложения и вычитания векторов
Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
Калькулятор смешанного произведения векторов
Калькулятор умножения вектора на число
Калькулятор нахождения угла между векторами
Калькулятор проверки коллинеарности векторов
Калькулятор проверки компланарности векторов
Генератор Pdf с примерами
Тренажёры решения примеров
Тренажер по математике
Тренажёр таблицы умножения
Тренажер счета для дошкольников
Тренажер счета на внимательность для дошкольников
Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
Тренажер решения примеров с разными действиями
Тренажёры решения столбиком
Тренажёр сложения столбиком
Тренажёр вычитания столбиком
Тренажёр умножения столбиком
Тренажёр деления столбиком с остатком
Калькуляторы решения столбиком
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
Калькулятор деления столбиком с остатком
Конвертеры величин
Конвертер единиц длины
Конвертер единиц скорости
Конвертер единиц ускорения
Цифры в текст
Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
Калькулятор вычисления времени движения
Калькулятор времени
Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома
Калькулятор Закона Кулона
Калькулятор напряженности E электрического поля
Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькуляторы по астрономии
Вес тела на других планетах
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
Генераторы
Генератор примеров по математике
Генератор случайных чисел
Генератор паролей