Теория
Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.
Сложение вещественного и комплексного числа, представленного в алгебраической форме.
Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.
Вычитание комплексного числа из вещественного числа.
Вычитание вещественного числа из комплексного числа.
Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.
Умножение вещественного и комплексного числа, записанного в алгебраической форме.
Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.
Деление комплексного числа, представленного в алгебраической форме на вещественное число.
Деление вещественного числа на комплексное число, представленного в алгебраической форме.
Сложение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.
Вычитание комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.
Умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.
Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.
Сложение комплексных чисел, представленных в показательной форме.
Вычитание комплексных чисел, представленных в показательной форме.
Умножение комплексных чисел, представленных в показательной форме.
Деление комплексных чисел, представленных в показательной форме.
Модуль комплексного числа.
Аргумент комплексного числа.
Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в тригонометрической форме.
Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в показательной форме.
Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в алгебраической форме.
Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в показательной форме.
Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в тригонометрической форме.
Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в алгебраической форме.
Сопряженное число комплексного числа, записанного в алгебраической форме.
Сопряженное число комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.
Сопряженное число комплексного числа, записанного в показательной форме.
Обратная величина комплексного числа, записанного в алгебраической форме.
Обратная величина комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.
Обратная величина комплексного числа, записанного в показательной форме.
Аддитивная инверсия комплексного числа.
Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в алгебраической форме.
Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.
Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме.
Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме
Для того, чтобы сложить два комплексных числа представленных в алгебраической форме, нужно сложить их вещественные и мнимые части:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Приведем примеры:
Пример 1. Сложим два комплексных числа 2 + 3i и 1.6 + 7i
(2 + 3i) + (1.6 + 7i) = (2 + 1.6) + (3 + 7)i = 3.6 + 10i
Пример 2. Сложим два комплексных числа 3 + 4i и 8 − 6i
(3 + 4i) + (8 − 6i) = (3 + 8) + (4 − 6i) = 11 − 2i
Сложение вещественного и комплексного числа, представленного в алгебраической форме
Чтобы сложить комплексное число a + bi и вещественное число c, необходимо прибавить к вещественной части комплексного числа вещественное число:
(a + bi) + с = (a + c) + bi
Приведем примеры:
Пример 1. Сложим комплексное число 2 + 3i и вещественное число 10
(2 + 3i) + 10 = (2 + 10) + 3i = 12 + 3i
Пример 2. Сложим комплексное число −6 + 3i и вещественное число -23
(−6 + 3i) + (−23) = (−6 + (−23)) + 3i = −29 + 3i
Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме
Для того, чтобы вычесть два комплексных числа представленных в алгебраической форме, нужно вычесть их вещественные и мнимые части:
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Приведем примеры:
Пример 1. Вычтем два комплексных числа 3 + 9i и 5 + 6i
(3 + 9i) − (5 + 6i) = (3 − 5) + (9 − 6)i = −2 + 3i
Пример 2. Вычтем два комплексных числа 6 + 23i и 57 + 68i
(6 + 23i) − (57 + 68i) = (6 − 57) + (23 − 68)i = −51 − 45i
Вычитание комплексного числа из вещественного числа
Чтобы вычесть из вещественного числа a комплексное число c + di, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
a − (c + di) = (a − c) − di
Приведем примеры:
Пример 1. Вычтем из вещественного числа 6 комплексное число 1 + 7i
6 − (1 + 7i) = (6 − 1) + 7i = 5 − 7i
Пример 2. Вычтем из вещественного числа -15 комплексное число 1 + (−7)i
−15 − (1 + (−7)i) = (−15 − 1) − (−7)i = −16 + 7i
Вычитание вещественного числа из комплексного числа
Чтобы вычесть из комплексного числа a + bi вещественное число c, необходимо вычесть из действительной части комплексного числа вещественное число:
(a + bi) − с = (a − c) + bi
Приведем примеры:
Пример 1. Вычтем из комплексного числа 5 + 12i вещественное число 8
(5 + 12i) − 8 = (5 − 8) + 12i = −3 + 12i
Пример 2. Вычтем из комплексного числа −1 + (−5)i вещественное число −3
(−1 + (−5)i) − (−3) = (−1 − (−3)) + (−5)i = 2 − 5i
Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме
Для того чтобы умножить два комплексных числа записанных в алгебраической форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
(a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac + bdi2) + (bc + ad)i = (ac − bd) + (bc + ad)i
Приведем примеры:
Пример 1. Умножим два комплексных числа 2 + 5i и 3 + 7i
Решение 1
(2 + 5i) × (3 + 7i) = ((2 × 3) − (5 × 7)) + ((5 × 3) + (2 × 7))i = (6 − 35) + (15 + 14)i = −29 + 29i
Решение 2
(2 + 5i) × (3 + 7i) = (2 × 3) + (2 × 7i) + (5i × 3) + (5i × 7i) = 6 + (14i) + (15i) + (35i2) = 6 + (29i) + (35 × (−1)) = −29 + 29i
Пример 2. Умножим два комплексных числа 0.4 + (−2)i и 3.023 + 0.25i
Решение 1
(0.4 + (−2)i) × (3.023 + 0.25i) = ((0.4 × 3.023) − (−2 × 0.25)) + (((−2) × 3.023) + (0.4 × 0.25))i = (1.2092 − (−0.5)) + (−6.046 + 0.1)i = 1.7092−5.946i
Решение 2
(0.4 + (−2)i) × (3.023 + 0.25i) = (0.4 × 3.023) + (0.4 × 0.25i) + ((−2)i × 3.023) + ((−2)i × 0.25i) = 1.2092 + (0.1i) + (−6.046i) + (−0.5i2) = 1.2092 + (−5.946i) + ((−0.5 × (−1))) = 1.7092 − 5.946i
Умножение вещественного и комплексного числа, записанного в алгебраической форме
Для того чтобы умножить вещественное число a на комплексное число c + di, необходимо вещественную и комплексную части числа c + di умножить на это число:
a × (c + di) = ac + adi
Приведем примеры:
Пример 1. Умножим комплексное число 3 + 4i и вещественное число 1
1 × (3 + 4i) = (1 × 3) + (1 × 4)i = 3 + 4i
Пример 2. Умножим комплексное число −5 + 4i и вещественное число −74
−74 × (−5 + 4i) = (−74 × (−5)) + (−74 × 4)i = 370 − 296i
Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме
Для того чтобы разделить два комплексных числа записанных в алгебраической форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
Приведем примеры:
Пример 1. Разделим комплексное число 4 + 3i на комплексное число 5 + 8i
| (4 + 3i) × (5 − 8i) | = |
| (5 + 8i) × (5 − 8i) |
| (4 × 5) + (3 × 8) | + |
| (52 + 82) |
| (3 × 5) − (4 × 8) |
| (52 + 82) |
| = 0.49438202247191−0.191011235955056i | | |
|
Пример 2. Разделим комплексное число 6 + (−2)i на комплексное число −4 + 7i
| (6 + (−2)i) × (−4 − 7i) | = |
| (−4 + 7i) × (−4 − 7i) |
| (6 × (−4)) + (−2 × 7) | + |
| (−42 + 72) |
| (−2 × (−4)) − (6 × 7) |
| (−42 + 72) |
| (−24 + (−14)) | + |
| (16 + 49) |
| = −0.584615384615385−0.523076923076923i | | |
|
Деление комплексного числа, представленного в алгебраической форме на вещественное число
Для того чтобы разделить комплексное число a + bi на вещественное число c, необходимо вещественную часть комплексного числа разделить на вещественное число и мнимую часть комплексного числа разделить на вещественное число:
Приведем пример:
Разделим комплексное число 3 + 6i на вещественное число 7
| = 0.428571428571429 + 0.857142857142857i | | |
|
Деление вещественного числа на комплексное число, представленного в алгебраической форме
Для того чтобы разделить вещественное число a на комплексное число c + di, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
Приведем пример:
Разделим вещественное число 5 на комплексное число 2 + 9i
| 5 × (2 − 9i) | = |
| (2 + 9i) × (2 − 9i) |
| = 0.117647058823529−0.529411764705882i | | |
|
Сложение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме
Для того чтобы сложить два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
z1 + z2 = (|z1| × (cos α + i sin α)) + (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) + (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) + (|z2| × sin β)), где
|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2
Приведем пример:
Сложим два комплексных числа √13 (cos 48° + i sin 48°) и √25 (cos 69° + i sin 69°)
√13 (cos 48° + i sin 48°) + √25 (cos 69° + i sin 69°) = ((√13 × cos(48°)) + (√25 × cos(69°))) + i((√13 × sin(48°)) + (√25 × sin(69°))) = (2.41258471120918 + 1.7918397477265) + (2.67944677335447 + 4.667902132486)i = 4.20442445893568 + 7.34734890584047i
Вычитание комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме
Для того чтобы вычесть два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
z1 − z2 = (|z1| × (cos α + i sin α)) − (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) − (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) − (|z2| × sin β)), где
|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2
Приведем пример:
Вычтем из два комплексного числа 1/2 (cos π/2 + i sin π/2) число 1/3 (cos π/3 + i sin π/3)
1/2 (cos π/2 + i sin π/2) − 1/3 (cos π/3 + i sin π/3) = ((1/2 × cos((π/2))) − (1/3 × cos((π/3)))) + i((1/2 × sin((π/2))) − (1/3 × sin((π/3)))) = (0 − 0.166666666666666) + (0.5 − 0.288675134594813)i = −0.166666666666666 + 0.211324865405187i
Умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме
Для того чтобы умножить два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
z1 × z2 = (|z1| × |z2|) × (cos(α + β) + i × sin(α + β)), где
|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2
Приведем пример:
Умножим два комплексных числа 2 (cos π/2 + i sin π/2) и 2 (cos π/3 + i sin π/3)
2 (cos π/2 + i sin π/2) × 2 (cos π/3 + i sin π/3) = (2 × 2) × (cos(π/2 + (π/3)) + i × sin(π/2 + (π/3))) =
16
× (cos(5π/6) + i × sin(5π/6)) =
16
× (cos(150°) + i × sin(150°))
Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме
Для того чтобы разделить два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
z1 ÷ z2 = (|z1| ÷ |z2|) × (cos(α − β) + i × sin(α − β)), где
|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2
Приведем пример:
Разделим два комплексных числа 3 (cos 45° + i sin 45°) и 2 (cos 37° + i sin 37°)
3 (cos 45° + i sin 45°) ÷ 2 (cos 37° + i sin 37°) = (3 ÷ 2) × (cos(45° − 37°) + i × sin(45° − 37°)) =
2.25
× (cos(8°) + i × sin(8°))=
2.25
× (cos(2π/45) + i × sin(2π/45))
Сложение комплексных чисел, представленных в показательной форме
Для того чтобы сложить два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z1| eiα + |z2| eiβ = (|z1| × (cos α + i sin α)) + (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) + (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) + (|z2| × sin β)), где
|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2
Приведем пример:
Сложим два комплексных числа 3 × e(π/2)i и 2 × e(3π/2)i
3 × e(π/2)i + 2 × e(3π/2)i = ((3 × cos((π/2))) + (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin((π/2))) + (2 × sin((3π/2)))) = (0 + 0) + (3 + (−2))i = 0 + 1i
Вычитание комплексных чисел, представленных в показательной форме
Для того чтобы вычесть два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z1| eiα − |z2| eiβ = (|z1| × (cos α + i sin α)) − (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) − (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) − (|z2| × sin β)), где
|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2
Приведем пример:
Вычтем из числа 3 × e(π/2)i число 2 × e(3π/2)i
3 × e(π/2)i - 2 × e(3π/2)i = ((3 × cos((π/2))) − (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin((π/2))) − (2 × sin((3π/2)))) = (0 − 0) + (3 − (−2))i = 0 + 5i
Умножение комплексных чисел, представленных в показательной форме
Для того чтобы умножить два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z1| eiα × |z2| eiβ = (|z1| × |z2|) × (cos(α + β) + i × sin(α + β)), где
|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2
Приведем пример:
Умножим два комплексных числа 3 × e(π/2)i и 2 × e(3π/2)i
(3 × e(π/2)i) × (2 × e(3π/2)i) = (3 × 2) × (cos(π/2 + (3π/2)) + i × sin(π/2 + (3π/2))) =
36
× (cos(360°) + i × sin(360°)) = 6 + 0i
Деление комплексных чисел, представленных в показательной форме
Для того чтобы разделить два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z1| eiα ÷ |z2| eiβ = (|z1| ÷ |z2|) × (cos(α − β) + i × sin(α − β)), где
|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2
Приведем пример:
Разделим два комплексных числа 3 × e(π/2)i и 2 × e(3π/2)i
(3 × e(π/2)i) ÷ (2 × e(3π/2)i) = (3 ÷ 2) × (cos(π/2 − (3π/2)) + i × sin(π/2 − (3π/2))) =
2.25
× (cos(−180°) + i × sin(−180°)) =
2.25
× (cos(−π) + i × sin(−π)) = −1.5 + 0i
Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:
Приведем пример:
Найдем модуль комплексного числа 1 + 3i
|1 + 3i| =
12 + 32
=
1 + 9
=
10
= 3.16227766016838
Аргумент комплексного числа
Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ между радиус−вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:
Arg(z) = arctg(b/a), a > 0
Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0
Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0
Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0
Главное значение аргумента, должно принимать такое значение, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно главное значение аргумента.
Приведем пример:
Найдем аргумент комплексного числа −4 + 7i
Arg(−4 + 7i) = arctg(7/(−4)) + π = 2.08994244104142 радиан
Arg(−4 + 7i) = 119.744881296942° градусов
Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в тригонометрической форме
Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в алгебраической форме в тригонометрической форме, необходимо найти модуль и аргумент данного комплексного числа.
z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:
Приведем пример:
Представим число 2 + 3i в тригонометрической форме
|2 + 3i| =
22 + 32
=
4 + 9
=
13
= 3.60555127546399
Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ между радиус−вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:
Arg(z) = arctg(b/a), a > 0
Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0
Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0
Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0
Главное значение аргумента, должно принимать такое значение, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно главное значение аргумента.
Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 0.982793723247329 радиан
Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 56.3099324740202° градусов
Теперь можно записать комплексное число z в тригонометрической форме:
z = 2 + 3i =
13
× (cos(arctg(3/2)) + sin(arctg(3/2))i) = 3.60555127546399 × (cos(56.3099324740202°) + sin(56.3099324740202°)i)
Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в показательной форме
Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в алгебраической форме в показательной форме, необходимо найти модуль и аргумент данного комплексного числа.
z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:
Приведем пример:
Представим число 2 + 2i в показательной форме
|2 + 2i| =
22 + 22
=
4 + 4
=
8
= 2.82842712474619
Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ между радиус−вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:
Arg(z) = arctg(b/a), a > 0
Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0
Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0
Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0
Главное значение аргумента, должно принимать такое значение, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно главное значение аргумента.
Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 0.785398163397448 радиан
Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 45° градусов
Теперь можно записать комплексное число z в показательной форме:
z = 2 + 2i =
8
× e
0.785398163397448i =
8
× e
45°i =
8
× e
(π/4)i
Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в алгебраической форме
Чтобы представить комплексное число записанное в тригонометрической форме в алгебраической форме z = a + bi, необходимо вещественную часть a представить как cos φ умножить на модуль |z|, а мнимую часть b как sin φ умножить на модуль |z| комплексного числа z.
|z| (cos φ + i sin φ) = (|z| × (cos φ)) + (|z| × (sin φ)i) = a + bi, где
a = |z| × cos φ
b = |z| × sin φ
Приведем пример:
Представим число 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в алгебраической форме
2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × (0.5 + 0.86602540378444i) = (2 × 0.5) + (2 × 0.86602540378444i) = 1 + 1.73205080756888i
Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в показательной форме
Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в тригонометрической форме в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z| × (cos φ + i sin φ) = |z| eφi, где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Приведем пример:
Представим число 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в показательной форме
2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × e
60°i = 2 × e
(π/3)i
Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в тригонометрической форме
Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z| eφi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Приведем пример:
Представим число 2 × e(π/3)i в тригонометрической форме
2 × e
(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i)
Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в алгебраической форме
Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в алгебраической форме, следует сначала это число представить в тригонометрической форме.
|z| eφi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Чтобы представить комплексное число записанное в тригонометрической форме в алгебраической форме z = a + bi, необходимо вещественную часть a представить как cos φ умножить на модуль |z|, а мнимую часть b как sin φ умножить на модуль |z| комплексного числа z.
|z| (cos φ + i sin φ) = (|z| × (cos φ)) + (|z| × (sin φ)i) = a + bi, где
a = |z| × cos φ
b = |z| × sin φ
Приведем пример:
Представим число 2 × e(π/3)i в алгебраической форме
2 × e
(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2 × (0.5 + 0.86602540378444i) = (2 × 0.5) + (2 × 0.86602540378444i) = 1 + 1.73205080756888i
Сопряженное число комплексного числа, записанного в алгебраической форме
Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = a + bi сопряженным число является z = a − bi.
Приведем пример:
Найдём сопряженное число для числа 2 + 3i
2 + 3i = 2 − 3i
Сопряженное число комплексного числа, записанного в тригонометрической форме
Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = |z| (cos φ + i sin φ) сопряженным число является z = |z| (cos φ − i sin φ).
Приведем пример:
Найдём сопряженное число для числа 2(cos((π/3)) + sin((π/3))i)
2(cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2(cos((π/3)) − sin((π/3))i)
Сопряженное число комплексного числа, записанного в показательной форме
Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = |z| eiφ сопряженным число является z = |z| e−iφ.
Приведем пример:
Найдём сопряженное число для числа 2 × e(π/3)i
2 × e(π/3)i = 2 × e
− (π/3)i
Обратная величина комплексного числа, записанного в алгебраической форме
Для каждого комплексного числа, отличного от нуля существует обратное число. Чтобы найти обратное число для числа a + bi, необходимо единицу разделить на это число. Так как в качестве делимого выступает единица, то формула для деления упрощается и принимает вид:
Приведем пример:
Найдём обратную величину для числа 2 + 3i
| = 0.153846153846154−0.230769230769231i | | |
|
Обратная величина комплексного числа, записанного в тригонометрической форме
Чтобы вычислить обратное число для числа, представленного в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
1/z = 1/|z| × (cos φ − i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Приведем пример:
Найдём обратную величину для числа 2(cos((π/2)) + sin((π/2))i)
1/z = 1/2 × (cos (π/2) − i sin π/2) =
0.25
× (cos(π/2) − i × sin(π/2))
Обратная величина комплексного числа, записанного в показательной форме
Чтобы вычислить обратное число для числа, представленного в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:
1/z = (1/|z|)e−iφ, где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Приведем пример:
Найдём обратную величину для числа 2 × ei(π/2)
1/z = 1/2 × e
−i (π/2) =
0.25
× e
−i (π/2)
Аддитивная инверсия комплексного числа
Аддитивная инверсия комплексного числа – это такое число, которое при добавлении к нему исходного числа дает ноль. Аддитивная инверсия комплексного числа представляет собой число в котором действительные и мнимые части умножаются на −1. Для того чтобы умножить число −1 на комплексное число a + bi. необходимо вещественную и комплексную части числа a + bi умножить на это число:
−1 × (a + bi) = (−1 × a) + (−1 × bi)
Приведем пример:
Найдём аддитивную инверсию для числа z = 2 + 3i
−z = (−1 × 2) + (−1 × 3)
i = −2−3
i
Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в алгебраической форме
Извлечем корень 3 степени из числа 3 + 2i
Чтобы извлечь корень n−й степени из ненулевого комплексного числа. необходимо сначала данное число представить в тригонометрической форме.
Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в алгебраической форме в тригонометрической форме, необходимо найти модуль и аргумент данного комплексного числа.
z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:
|3 + 2i| =
32 + 22
=
9 + 4
=
13
= 3.60555127546399
Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ между радиус−вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:
Arg(z) = arctg(b/a), a > 0
Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0
Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0
Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0
Главное значение аргумента, должно принимать такое значение, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно главное значение аргумента.
Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 0.588002603547568 радиан
Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 33.6900675259798° градусов
Теперь можно записать комплексное число z в тригонометрической форме:
z = 3 + 2i =
13
× (cos(arctg(2/3)) + sin(arctg(2/3))i) = 3.60555127546399 × (cos(33.6900675259798°) + sin(33.6900675259798°)i)
Применим формулу Муавра чтобы извлечь корень n−й степени:
n√z = n√|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
n – степень корня (количество корней)
k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1
z
1 =
33.60555127546399
× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 0)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 0)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 11.2300225086599°)) + (1.53340623701639 × (sin 11.2300225086599°))i = 1.50404648119798 + 0.298628314325244i
z
2 =
33.60555127546399
× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 360)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 360)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 131.23002250866°)) + (1.53340623701639 × (sin 131.23002250866°))i = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i
z
3 =
33.60555127546399
× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 720)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 720)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 251.23002250866°)) + (1.53340623701639 × (sin 251.23002250866°))i = −0.493403534104007 − 1.45185661835266i
z
1 = 1.50404648119798 + 0.298628314325244i
z
2 = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i
z
3 = −0.493403534104007 − 1.45185661835266i
z
1 = 1.53340623701639 × (cos(11.2300225086599°) + i sin(11.2300225086599°))
z
2 = 1.53340623701639 × (cos(131.23002250866°) + i sin(131.23002250866°))
z
3 = 1.53340623701639 × (cos(251.23002250866°) + i sin(251.23002250866°))
Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме
Извлечем корень 3 степени из числа 3(cos((π/5)) + sin((π/5))i)
Применим формулу Муавра чтобы извлечь корень n−й степени:
n√z = n√|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
n – степень корня (количество корней)
k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1
z
1 =
33
× (cos((36° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 0)/3) + i sin ((36° + 0)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 12°)) + (1.44224957030741 × (sin 12°))i = 1.41073295685556 + 0.299860546743801i
z
2 =
33
× (cos((36° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 360)/3) + i sin ((36° + 360)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 132°)) + (1.44224957030741 × (sin 132°))i = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i
z
3 =
33
× (cos((36° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 720)/3) + i sin ((36° + 720)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 252°)) + (1.44224957030741 × (sin 252°))i = −0.445679627354959 − 1.37166085196474i
z
1 = 1.41073295685556 + 0.299860546743801i
z
2 = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i
z
3 = −0.445679627354959 − 1.37166085196474i
z
1 = 1.44224957030741 × (cos(12°) + i sin(12°))
z
2 = 1.44224957030741 × (cos(132°) + i sin(132°))
z
3 = 1.44224957030741 × (cos(252°) + i sin(252°))
Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме
Извлечем корень 3 степени из числа 2 × e45°i
Чтобы извлечь корень n−й степени из ненулевого комплексного числа. необходимо сначала данное число представить в тригонометрической форме,
Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:
|z| eφi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
2 × e
45°i = 2 × (cos(45°) + sin(45°)i)
Применим формулу Муавра чтобы извлечь корень n−й степени:
n√z = n√|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
n – степень корня (количество корней)
k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1
z
1 =
32
× (cos((45° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 0)/3) + i sin ((45° + 0)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 15°)) + (1.25992104989487 × (sin 15°))i = 1.2169902811787 + 0.326091563038355i
z
2 =
32
× (cos((45° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 360)/3) + i sin ((45° + 360)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 135°)) + (1.25992104989487 × (sin 135°))i = −0.890898718140328 + 0.89089871814034i
z
3 =
32
× (cos((45° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 720)/3) + i sin ((45° + 720)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 255°)) + (1.25992104989487 × (sin 255°))i = −0.326091563038355 − 1.2169902811787i
z
1 = 1.2169902811787 + 0.326091563038355i
z
2 = −0.890898718140328 + 0.89089871814034i
z
3 = −0.326091563038355 − 1.2169902811787i
z
1 = 1.25992104989487 × (cos(15°) + i sin(15°))
z
2 = 1.25992104989487 × (cos(135°) + i sin(135°))
z
3 = 1.25992104989487 × (cos(255°) + i sin(255°))