Правила ввода чисел и функций
Для записи десятичной дроби используйте точку, например, 1.12
Для ввода обыкновенных дробей воспользуйтесь знаком «/» , например, 1/2 или 3/4
Для записи произведения используйте знак «*», например, 5 * 4 или 5 * (3^9)
Для ввода очень больших или малых чисел используйте компьютерный формат с буквой e (порядок числа). Пример: 2.3e+5 (это 230000) или -1.5e-3*i
Для записи числа π введите «π», либо «pi», например, sin(π).
Квадратный корень $$\sqrt{x}$$ записывается как sqrt(x), где x – любое число или выражение. Например,
$$\sqrt{3}$$ записывается как sqrt(3)
$$\sqrt{\frac{3}{5}}$$ записывается как sqrt(3/5)
$$\sqrt{3 \cdot 3}$$ записывается как sqrt(3*3)
Для возведения в степень используйте знак «^», где
Примеры:
$$5^3$$ записывается как 5^(3)
$$\left(\sqrt{3}\right)^{-2}$$ записывается как sqrt(3)^(-2)
Для вычисления натурального логарифма (по основанию $e$) используйте функцию ln(...), например: ln(e) или ln(i)
Вводите числа с мнимой единицей i на конце. Знак умножения перед i можно не ставить. Пример: 2 + 3i, -i или 5.5i
Используйте функции cos(...) и sin(...), а углы задавайте в радианах через константу pi. Пример: 2 * (cos(pi/3) + i * sin(pi/3))
Используйте число Эйлера e и знак степени ^. Комплексный показатель степени обязательно берите в скобки. Пример: e^(i * pi) или 5 * e^(3i)
Введите комплексное выражение целиком, содержащее числа в алгебраической (2 + 3i), тригонометрической или показательной форме. Поддерживаются обыкновенные дроби (5/9), степени (6^3), корни sqrt(...), натуральные логарифмы ln(...) и число pi.
Галерея шаблонов примеров
$$ \frac{5}{9} + \left(-\frac{1}{4}\right) - \left(\frac{2}{5}\right)^{4} $$
$$ \sqrt{8} - \sqrt{6.2} + \sqrt{\frac{\pi}{4}} $$
$$ \sqrt{-4} + \sqrt{-2} + 3i $$
$$ (2 + 3i) + \left(\frac{1}{9} - \frac{2}{7}\right) + 3i $$
$$ \frac{(1 + i)(1 - i)}{2 + 3i} $$
$$ \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}i}{\frac{1}{5} - \frac{2}{3}i} $$
$$ \ln(e)^{5} - \ln(i) $$
$$ 2 \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $$
$$ e^{i\pi} \cdot 5e^{i \cdot \frac{\pi}{6}} $$
$$ 2.3 \cdot 10^{5} + 3i \cdot \left(-1.5 \cdot 10^{-3}\right) $$
$$ \frac{4 \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)}{2 \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)} + \frac{2 + 3i}{1 - 2i} $$
$$ 5e^{i \cdot \frac{\pi}{3}} - \frac{\sqrt{-4} + 3}{1 - \sqrt{-9}} + (1 + i)^{2} $$
$$ (\cos(2) + i \cdot \sin(2)) \cdot \sqrt{\frac{\pi}{4}} - \frac{\ln(e)^{5}}{\frac{5}{9} + \sqrt{8}} $$
Показать ход решения
Исходное выражение
$$\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}i\right)}{\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}i\right)}+\sqrt{\frac{1}{3}}$$
Результат
Аналитический вид
$$\frac{-90}{109} + \left(\frac{435}{436}\right)\mathrm{i}+\sqrt{\frac{1}{3}}$$
Численное значение
$$-0.24833780420487 + 0.997706422018349i$$
О калькуляторе
Этот калькулятор разработан для работы с комплексными числами и сложными математическими выражениями. В отличие от стандартных инструментов, где для каждого действия нужно нажимать отдельную кнопку, здесь пример можно вводить целиком в одну строку — со скобками, функциями, обыкновенными и десятичными дробями. Система автоматически распознает приоритет математических операций и выполнит расчет.
Главная особенность калькулятора — одновременный вывод результата в двух форматах: точном дробном и привычном десятичном. Система компьютерной алгебры производит вычисления без потери точности и промежуточных округлений. Например, при вводе длинного числового выражения калькулятор не просто покажет десятичный хвост, а самостоятельно сгруппирует действительные и мнимые части, избавится от мнимости в знаменателе и выдаст точный аналитический ответ вида $$ \frac{115}{63} + 6i $$. Если точный и приближенный ответы различаются, вы увидите оба варианта.
Инструмент полностью поддерживает работу с комплексными числами во всех трех математических формах:
- Для алгебраической формы $$ a + bi $$ знак умножения перед мнимой единицей можно опускать — система поймет как запись $$ 2 + 3i $$, так и выражение со знаком умножения.
- Тригонометрическая форма реализуется через встроенные функции синуса и косинуса, например: $$ 2 \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $$. При вводе тригонометрической формы помните, что углы необходимо задавать строго в радианах, используя встроенную константу pi.
- Показательная форма записывается с использованием числа Эйлера и знака степени, например: $$ e^{i\pi} $$ или $$ 5 \cdot e^{3i} $$. Чтобы калькулятор рассчитал пример корректно, комплексный показатель степени обязательно нужно брать в круглые скобки — например,
e^(3i), иначе мнимая единица посчитается как отдельный множитель за пределами степени.
Помимо базовой арифметики, калькулятор поддерживает функции, которые также могут принимать комплексные аргументы. Вам доступны вычисление квадратных корней $$ \sqrt{x} $$, натурального логарифма $$ \ln(x) $$, а также тригонометрических функций синуса, косинуса и тангенса (поддерживаются записи как tan, так и привычная tg). Система корректно работает с отрицательными радикалами: при вводе $$ \sqrt{-4} $$ калькулятор вернет комплексный результат $$ 2i $$. Константы $$ \pi $$ и $$ e $$ можно использовать внутри любых выражений и функций.
Калькулятор адаптирован под разные форматы ввода и защищен от синтаксических ошибок. Он распознает и корректно преобразует числа в научном (экспоненциальном) формате, такие как $$ 2.3 \cdot 10^{5} $$ (вводится как 2.3e+5). Если при вводе примера вы случайно ошибетесь в расстановке знаков или скобок, система аккуратно предупредит об этом, предложив проверить синтаксис выражения.
Для быстрого освоения возможностей инструмента под полем ввода предусмотрена галерея готовых шаблонов. Вы можете кликнуть на любое сложное выражение из галереи — оно мгновенно подставится в калькулятор, и вы сразу увидите, как работает расчет многоэтажных дробей, логарифмов и тригонометрии на практике.
Теория: теоретические основы комплексных чисел и форм их представления
-
Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных (реальных) чисел. Необходимость их введения была вызвана тем, что в рамках действительных чисел невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа (например, уравнение $$ x^2 = -1 $$ не имеет решений на действительной прямой). Для устранения этого ограничения математики ввели базовый элемент — мнимую единицу, которая обозначается строчной латинской буквой $$ i $$ и определяется фундаментальным равенством: $$ i^2 = -1 $$.
Любое комплексное число $$ z $$ является составным и записывается в виде комбинации двух независимых частей: $$ z = a + bi $$. Здесь компонент $$ a $$ — это действительная (реальная) часть, обозначаемая как $$ \text{Re}(z) $$, а компонент $$ bi $$ — мнимая часть, где $$ b $$ является мнимым коэффициентом, обозначаемым как $$ \text{Im}(z) $$. Благодаря этому, операция извлечения корня из отрицательного числа приобретает строгий математический смысл: например, выражение $$ \sqrt{-4} $$ преобразуется в $$ \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} $$ и дает точный комплексный результат $$ 2i $$.
В современной математике и инженерной практике одно и то же комплексное число может быть представлено в трех эквивалентных формах:
- Алгебраическая форма $$ z = a + bi $$ — стандартный вид, наиболее удобный для выполнения операций сложения и вычитания. При сложении комплексных чисел отдельно суммируются их действительные и отдельно мнимые части: $$ (a_1 + b_1i) + (a_2 + b_2i)$$$$ = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i $$.
- Тригонометрическая форма $$ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) $$ — геометрическое представление числа на комплексной плоскости. Здесь $$ r $$ — это модуль числа (длина вектора, вычисляемая по теореме Пифагора как $$ \sqrt{a^2 + b^2} $$), а $$ \varphi $$ — аргумент числа (угол наклона вектора, выражаемый в радианах). Данная форма оптимальна для операций умножения, деления и возведения в степень (формула Муавра). При умножении модули чисел перемножаются, а их аргументы складываются.
- Показательная (экспоненциальная) форма $$ z = r \cdot e^{i\varphi} $$ — наиболее лаконичная форма записи, основанная на тождестве Эйлера, которое связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Комплексный аргумент (угол $$ \varphi $$) записывается непосредственно в показатель степени числа Эйлера $$ e $$. Эта форма повсеместно применяется в теоретических расчетах.
Комплексные числа являются фундаментальным математическим аппаратом для описания любых волновых, колебательных и циклических процессов. Они позволяют заменять сложные системы дифференциальных уравнений более простыми алгебраическими расчетами. На комплексных числах целиком построены такие прикладные дисциплины, как теоретические основы электротехники (ТОЭ), расчет цепей переменного тока, радиолокация, квантовая механика, теория обработки сигналов и гидродинамика.
При расчете комплексных выражений ключевое значение имеет понятие комплексно-сопряженных чисел. Числа $$ a + bi $$ и $$ a - bi $$ называются сопряженными, так как они отличаются только знаком перед мнимой частью. Произведение двух сопряженных чисел всегда дает чисто действительное число, равное сумме квадратов их коэффициентов: $$ (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 $$. Именно это свойство Система компьютерной алгебры калькулятора использует для избавления от мнимости в знаменателе комплексных дробей при приведении выражений к итоговому точечному виду.