Что такое двадцатиодноричная система счисления
-
Двадцатиодноричная система счисления — является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в двадцатиодноричной системе счисления используется десять цифр и одиннадцать букв $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$ и $K$. Для определения, в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, $K4_{21}$ или $GJ45_{21}$.
Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн.
Как перевести целое десятичное число в двадцатиодноричную систему счисления
Для того чтобы перевести целое десятичное число в двадцатиодноричную систему счисления, необходимо выполнить следующие действия:
- Нужно десятичное число делить на $21$ до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю.
- В результате будет получено число из остатков деления, записанное справа налево.
Например, переведем число $186860_{10}$ в двадцатиодноричную систему счисления:
$186860 : 21 = 8898$, остаток: $2$
$8898 : 21 = 423$, остаток: $15$ ($15 = F$)
$423 : 21 = 20$, остаток: $3$
$20 : 21 = 0$, остаток: $20$ ($20 = K$)
$186860_{10} = K3F2_{21}$
Как перевести десятичную дробь в двадцатиодноричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в двадцатиодноричную систему счисления, необходимо:
- Сначала перевести целую часть десятичной дроби в двадцатиодноричную систему счисления.
- Затем дробную часть последовательно умножать на $21$ до тех пор, пока в дробной части произведения не получится ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой.
- Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль.
- В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.
Например, переведем десятичное число $9032.17368_{10}$ в двадцатиодноричную систему счисления:
Переведем целую часть:
$9032 : 21 = 430$, остаток: $2$
$430 : 21 = 20$, остаток: $10$ ($10 = A$)
$20 : 21 = 0$, остаток: $20$ ($20 = K$)
$9032_{10} = KA2_{21}$
Переведем дробную часть:
$0.17368 \cdot 21 = 3.64728$
$0.64728 \cdot 21 = 13.59288$ ($13 = D$)
$0.59288 \cdot 21 = 12.45048$ ($12 = C$)
$0.45048 \cdot 21 = 9.46008$
$0.46008 \cdot 21 = 9.66168$
$0.66168 \cdot 21 = 13.89528$ ($13 = D$)
$0.89528 \cdot 21 = 18.80088$ ($18 = I$)
$0.80088 \cdot 21 = 16.81848$ ($16 = G$)
$0.81848 \cdot 21 = 17.18808$ ($17 = H$)
$0.18808 \cdot 21 = 3.94968$
$0.17368_{10} = 0.3DC99DIGH3_{21}$
$9032.17368_{10} = KA2.3DC99DIGH3_{21}$
Двадцатиодноричные дроби, как и десятичные, могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной двадцатиодноричной.
В данном примере получается бесконечная периодическая двадцатиодноричная дробь, поэтому умножение на $21$ можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь $9032.17368$ не может быть точно представлена в двадцатиодноричной системе счисления.
Как перевести число из двадцатиодноричной системы счисления в десятичную
Для того чтобы перевести число из двадцатиодноричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо:
- Записать позиции каждой цифры в числе справа налево начиная с нуля.
- Каждая позиция цифры будет степенью числа $21$, так как система счисления 21-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $21$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем число $12DK3_{21}$ в десятичную систему счисления:
Для расчета учитываем, что:
$D_{21} = 13_{10}$
$K_{21} = 20_{10}$
$$\overset{4}{1}\overset{3}{2}\overset{2}{D}\overset{1}{K}\overset{0}{3}_{21} = 1 \cdot 21^{4} + 2 \cdot 21^{3} + 13 \cdot 21^{2} + 20 \cdot 21^{1} + 3 \cdot 21^{0} = 219159_{10}$$
Как перевести дробное двадцатиодноричное число в десятичное
Для того чтобы перевести дробное двадцатиодноричное число в десятичное, необходимо выполнить следующие шаги:
- Записать дробное двадцатиодноричное число, убрав точку, и затем сверху расставить индексы.
- Индексы в дробной части числа начинаются от $-1$ и продолжаются на уменьшение вправо.
- Индексы в целой части начинаются с $0$ и ставятся справа налево по возрастанию.
- Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа $21$, так как система счисления 21-ичная.
- Последовательно умножить каждое число на $21$ в степени соответствующей позиции числа и затем сложить со следующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.
Например, переведем дробное двадцатиодноричное число $K19.EE4_{21}$ в десятичную систему:
Для расчета учитываем, что:
$E_{21} = 14_{10}$
$K_{21} = 20_{10}$
$$\overset{2}{K}\overset{1}{1}\overset{0}{9}.\overset{-1}{E}\overset{-2}{E}\overset{-3}{4}_{21} = 20 \cdot 21^{2} + 1 \cdot 21^{1} + 9 \cdot 21^{0} + 14 \cdot 21^{-1} + 14 \cdot 21^{-2} + 4 \cdot 21^{-3} = 8850.6988446172119641507396609436_{10}$$
Таблица значений десятичных чисел от $0$ до $100$ в двадцатиодноричной системе счисления