Калькулятор векторного произведения векторов

Уведомление

Мы и выбранные партнеры используем файлы «cookie» или аналогичные технологии, указанные в политике в отношении файлов «cookie».
Вы можете дать согласие на использование таких технологий, прокручивая эту страницу, используя любую ссылку или кнопку за пределами этого уведомления или продолжая просматривать материалы иным способом.
Дополнительно о категориях собираемой личной информации и целях, в которых такая информация будет использоваться, см. в наших правилах обеспечения конфиденциальности персональных данных.

Уведомление для калифорнийских потребителей

0
AC +/- ÷
7 8 9 ×
4 5 6 -
1 2 3 +
0 00 , =

Калькулятор векторного произведения векторов

Данный калькулятор вычислит векторное произведение векторов через их координаты как в правом, так и в левом ортонормированном базисе. Форма представления векторов может быть, как координатная, так и задана точками. Результат вычисления включает подробное пошаговое решение, а также теоретическую часть.


Укажите форму представления первого вектора
Укажите форму представления второго вектора

Задайте координаты первого вектора
a̅ = { ; ; }


Задайте координаты второго вектора
b̅ = { ; ; }

Базис

Представить координаты векторного произведения в виде десятичных дробей


Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ в трехмерном евклидовом пространстве – называется вектор $$\overline{c}$$. Модуль вектора $$\overline{c}$$, численно равен площади параллелограмма $$OABQ$$, построенного на векторах $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$, то есть $$|\overline{c}|$$ = $$|\overline{a}||\overline{b}|\sin{\angle\overline{a}\overline{b}}$$.

Векторное произведение векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ обозначается как: $$[\overline{a}\overline{b}]$$, $$[\overline{a},\overline{b}]$$, $$\overline{a}\times\overline{b}$$, $$\overline{a}\wedge\overline{b}$$

Векторное произведение векторов
Параллелограмм $$OABQ$$

Направление получившегося вектора $$\overline{c}$$ будет перпендикулярно плоскости параллелограмма $$OABQ$$.

В правом ортонормированном базисе векторное произведение векторов определяется как:
$$\overline{a} \times \overline{b} = \{ a_y b_z - a_z b_y \, ; \, a_z b_x - a_x b_z \, ; \, a_x b_y - a_y b_x\}$$

Формула для координат векторного произведения вычисляется из определителя третьего порядка, где первая строка – векторы $$i$$, $$j$$, $$k$$
$$\overline{i} = \left\{1\, ; \,0\, ; \,0\right\}$$,
$$\overline{j} = \left\{0\, ; \,1\, ; \,0\right\}$$,
$$\overline{k} = \left\{0\, ; \,0\, ; \,1\right\}$$,
а вторая и третья строки – координаты векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$:

$$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\\end{vmatrix} = \overline{i}\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}-\overline{j}\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\\\end{vmatrix}+\overline{k}\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\\\end{vmatrix}=$$ $$ \overline{i}\,a_yb_z - \overline{i}\, a_zb_y - \overline{j}\, a_xb_z + \overline{j}\, a_zb_x +\overline{k}\, a_xb_y - \overline{k}\, a_yb_x =$$ $$\overline{i}(a_yb_z - b_ya_z) - \overline{j}(a_xb_z - b_xa_z) + \overline{k}(a_xb_y - b_xa_y)$$

Векторное произведение не обладает переместительным свойством, поэтому при перестановке множителей векторное произведение изменит знак: $$\overline{b} \times \overline{a} = -(\overline{a} \times \overline{b})$$

Векторное произведение равно нулю, когда векторы $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ коллинеарны (параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых или на одной прямой), а также если один из векторов или оба – нуль вектора.

В левом ортонормированном базисе векторное произведение векторов определяется как:
$$ \overline{a} \times \overline{b} = \{ a_z b_y - a_y b_z \, ; \, a_x b_z - a_z b_x \, ; \, a_y b_x - a_x b_y\}$$

Примеры векторного произведения векторов

Пример 1. Найдем векторное произведение векторов в правом ортонормированном базисе. Координаты обоих векторов заданны точками.

Координаты точки $$A$$ равны: $$A(2\,;\,4\,;\,-5)$$.

Координаты точки $$B$$ равны: $$B(3\,;\,-9\,;\,7)$$.

Координаты точки $$C$$ равны: $$C(-1\,;\,5\,;\,-2)$$.

Координаты точки $$D$$ равны: $$D(9\,;\,4\,;\,12)$$.

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам $$A$$ и $$B$$
$$\overline{AB} = \{B_x - A_x \,;\, B_y - A_y \,;\, B_z - A_z\}$$
$$\overline{AB} = \left\{3 - 2\, ; \,-9 - 4\, ; \,7 - \left(-5\right)\right\} = $$$$\left\{1\, ; \,-13\, ; \,12\right\}$$
Вычислим координаты второго вектора по двум точкам $$C$$ и $$D$$
$$\overline{CD} = \{D_x - C_x \,;\, D_y - C_y \,;\, D_z - C_z\}$$
$$\overline{CD} = \left\{9 - \left(-1\right)\, ; \,4 - 5\, ; \,12 - \left(-2\right)\right\} = $$$$\left\{10\, ; \,-1\, ; \,14\right\}$$
$$\overline{AB} = \left\{1\, ; \,-13\, ; \,12\right\}$$

$$\overline{CD} = \left\{10\, ; \,-1\, ; \,14\right\}$$

В правом ортонормированном базисе векторное произведение векторов $$\overline{AB}$$ и $$\overline{CD}$$ вычисляется по формуле:$$\overline{AB} \times \overline{CD} = \{ AB_y CD_z - AB_z CD_y \, ; \, AB_z CD_x - AB_x CD_z \, ; \, AB_x CD_y - AB_y CD_x\}$$
$$\overline{AB} \times \overline{CD} = $$$$\left\{\left(-13 \cdot 14 \right) - \left(12 \cdot \left(-1\right) \right)\, ; \,\left(12 \cdot 10 \right) - \left(1 \cdot 14 \right)\, ; \, \left(1 \cdot \left(-1\right) \right) - \left(-13 \cdot 10 \right)\right\} = $$$$\left\{-170\, ; \,106\, ; \,129\right\}$$
$$\overline{AB} \times \overline{CD} = $$$$\left\{-170\, ; \,106\, ; \,129\right\}$$


Пример 2. Найдем векторное произведение векторов в правом ортонормированном базисе.

$$\overline{a} = \left\{5\, ; \,1\, ; \,7\right\}$$

$$\overline{b} = \left\{2\, ; \,4\, ; \,6\right\}$$

В правом ортонормированном базисе векторное произведение векторов $$\overline{a}$$ и $$\overline{b}$$ вычисляется по формуле:

$$\overline{a} \times \overline{b} = \{ a_y b_z - a_z b_y \, ; \, a_z b_x - a_x b_z \, ; \, a_x b_y - a_y b_x\}$$
$$\overline{a} \times \overline{b} = $$$$\left\{\left(1 \cdot 6 \right) - \left(7 \cdot 4 \right)\, ; \,\left(7 \cdot 2 \right) - \left(5 \cdot 6 \right)\, ; \, \left(5 \cdot 4 \right) - \left(1 \cdot 2 \right)\right\} = $$$$\left\{-22\, ; \,-16\, ; \,18\right\}$$
$$\overline{a} \times \overline{b} = $$$$\left\{-22\, ; \,-16\, ; \,18\right\}$$
Вам могут также быть полезны следующие сервисы
Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
Калькулятор сложения и вычитания матриц
Калькулятор умножения матриц
Калькулятор транспонирование матрицы
Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
Калькулятор нахождения обратной матрицы
Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
Калькулятор сложения и вычитания векторов
Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
Калькулятор смешанного произведения векторов
Калькулятор умножения вектора на число
Калькулятор нахождения угла между векторами
Калькулятор проверки коллинеарности векторов
Калькулятор проверки компланарности векторов
Калькуляторы (Комбинаторика)
Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
Калькуляторы систем счисления
Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
Системы счисления теория
N2 | Двоичная система счисления
N3 | Троичная система счисления
N4 | Четырехичная система счисления
N5 | Пятеричная система счисления
N6 | Шестеричная система счисления
N7 | Семеричная система счисления
N8 | Восьмеричная система счисления
N9 | Девятеричная система счисления
N11 | Одиннадцатиричная система счисления
N12 | Двенадцатеричная система счисления
N13 | Тринадцатеричная система счисления
N14 | Четырнадцатеричная система счисления
N15 | Пятнадцатеричная система счисления
N16 | Шестнадцатеричная система счисления
N17 | Семнадцатеричная система счисления
N18 | Восемнадцатеричная система счисления
N19 | Девятнадцатеричная система счисления
N20 | Двадцатеричная система счисления
N21 | Двадцатиодноричная система счисления
N22 | Двадцатидвухричная система счисления
N23 | Двадцатитрехричная система счисления
N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
N25 | Двадцатипятеричная система счисления
N26 | Двадцатишестеричная система счисления
N27 | Двадцатисемеричная система счисления
N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
N30 | Тридцатиричная система счисления
N31 | Тридцатиодноричная система счисления
N32 | Тридцатидвухричная система счисления
N33 | Тридцатитрехричная система счисления
N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
N35 | Тридцатипятиричная система счисления
N36 | Тридцатишестиричная система счисления
Дроби
Калькулятор интервальных повторений
Учим дроби наглядно
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
Калькулятор возведения дроби в степень
Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
Калькулятор сравнения дробей
Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
Калькуляторы (тригонометрия)
Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла
Калькулятор секанса угла
Калькулятор косеканса угла
Калькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла
Калькулятор арксеканса угла
Калькулятор арккосеканса угла
Калькулятор нахождения наименьшего угла
Калькулятор определения вида угла
Калькулятор смежных углов
Калькуляторы (Теория чисел)
Калькулятор выражений
Калькулятор упрощения выражений
Калькулятор со скобками
Калькулятор уравнений
Калькулятор суммы
Калькулятор пределов функций
Калькулятор разложения числа на простые множители
Калькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
Калькулятор делителей числа
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
Калькулятор деления числа в данном отношении
Калькулятор процентов
Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
Калькулятор экспоненциальной записи чисел
Калькулятор нахождения факториала числа
Калькулятор нахождения логарифма числа
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор остатка от деления
Калькулятор корней с решением
Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
Калькулятор больших чисел
Калькулятор округления числа
Калькулятор свойств корней и степеней
Калькулятор комплексных чисел
Калькулятор среднего арифметического
Калькулятор арифметической прогрессии
Калькулятор геометрической прогрессии
Калькулятор модуля числа
Калькулятор абсолютной погрешности приближения
Калькулятор абсолютной погрешности
Калькулятор относительной погрешности
Калькуляторы по геометрии
Калькуляторы площади
Калькулятор площади геометрических фигур
Калькулятор площади квадрата
Калькулятор площади прямоугольника
Калькулятор площади треугольника
Калькулятор площади окружности
Калькулятор площади эллипса
Калькулятор площади трапеции
Калькулятор площади правильного многоугольника
Калькулятор площади параллелограмма
Квадрат
Калькулятор стороны квадрата
Калькулятор диагонали квадрата
Калькулятор периметра квадрата
Калькулятор радиуса вписанной окружности в квадрат
Калькулятор радиуса описанной окружности квадрата
Прямоугольник
Калькулятор сторон прямоугольника
Калькулятор стороны прямоугольника
Калькулятор периметра прямоугольника
Калькулятор диагонали прямоугольника
Калькулятор радиуса описанной окружности прямоугольника
Калькулятор углов прямоугольника через диагонали
Треугольник
Генератор треугольников
Калькулятор сторон треугольника
Калькулятор углов треугольника
Калькулятор полупериметра треугольника
Калькулятор высоты треугольника
Калькулятор медианы треугольника
Калькулятор биссектрисы треугольника
Калькулятор радиуса вписанной окружности в треугольник
Калькулятор радиуса описанной окружности треугольника
Калькулятор радиуса вневписанной окружности треугольника
Окружность
Калькулятор длины окружности
Калькулятор радиуса окружности
Калькулятор диаметра окружности
Эллипс
Калькулятор радиуса эллипса
КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
Генератор Pdf с примерами
Тренажёры решения примеров
Тренажер по математике
Тренажёр таблицы умножения
Тренажер счета для дошкольников
Тренажер счета на внимательность для дошкольников
Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
Тренажер решения примеров с разными действиями
Тренажёры решения столбиком
Тренажёр сложения столбиком
Тренажёр вычитания столбиком
Тренажёр умножения столбиком
Тренажёр деления столбиком с остатком
Калькуляторы решения столбиком
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
Калькулятор деления столбиком с остатком
Конвертеры величин
Конвертер единиц длины
Конвертер единиц скорости
Конвертер единиц ускорения
Цифры в текст
Калькуляторы (физика)
Механика
Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
Калькулятор вычисления времени движения
Калькулятор времени
Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения
Оптика
Калькулятор отражения и преломления света
Электричество и магнетизм
Калькулятор Закона Ома
Калькулятор Закона Кулона
Калькулятор напряженности E электрического поля
Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы
Конденсаторы
Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькуляторы по астрономии
Вес тела на других планетах
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
Генераторы
Генератор примеров по математике
Генератор случайных чисел
Генератор паролей