Десятичные дроби	Ввод
$3, 9$	3.9
$6, 012$	6.012
$0, 209$	0.209
Обыкновенные дроби
$\frac{2}{3}$	2/3
$\frac{15}{7}$	15/7
$\frac{1}{9}$	1/9
Возведение в степень
$3^{2}$	3^2
${2^{3}}^{4}$	(2^3)^4
${(\frac{2}{3})}^{8}$	(2/3)^8
Квадратный корень
$\sqrt{2}$	sqrt(2)
$\sqrt{\frac{9}{15}}$	sqrt(9/15)
${(\sqrt{\frac{6}{7}})}^{3}$	(sqrt(6/7))^3
$2 \sqrt{5}$	2*sqrt(5)
$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	(1/2)*sqrt(3)
Число π
$π$	pi
$2 π$	2pi
$\frac{3 π}{2}$	3pi/2
Число Эйлера e
$e$	Для записи числа Эйлера введите e
$e^{(\frac{1}{3})}$	e^(1/3)
Натуральный логарифм ln
$l n (3)$	ln(3)
$l n (\frac{1}{2})$	ln(1/2)
$\sqrt{l n (5)}$	sqrt(ln(5))
Экспоненциальная запись чисел
$2.3 e + 15$	2.3e+15
$2.45 e - 35$	2.45e-35
Абсолютная величина (модуль)
$\| - 5 \|$	abs(-5)
$\| \sqrt{2} - 7 \|$	abs(sqrt(2)-7)
Тригонометрические функции
Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sin(45°), тогда sin(45*pi/180).
Синус sin(x)	sin(x)
Косинус cos(x)	cos(x)
Тангенс tg(x), tan(x)	tan(x)
Котангенс ctg(x), cot(x)	cot(x)
Секанс sec(x)	sec(x)
Косеканс csc(x), cosec(x)	csc(x)
Гиперболические функции
Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sinh(45°), тогда sinh(45*pi/180).
Гиперболический синус sh(x), sinh(x)	sinh(x)
Гиперболический косинус ch(x), cosh(x)	cosh(x)
Гиперболический тангенс th(x), tanh(x)	tanh(x)
Гиперболический котангенс cth(x), coth(x)	coth(x)
Гиперболический секанс sch(x), sech(x)	sech(x)
Гиперболический косеканс csch(x), csch(x)	csch(x)
Обратные тригонометрические функции
Арксинус arcsin(x)	asin(x)
Арккосинус arccos(x)	acos(x)
Арктангенс arctg(x), arctan(x)	atan(x)
Арккотангенс arcctg(x), arccot(x)	acot(x)
Арксеканс arcsec(x)	asec(x)
Арккосеканс arccsc(x)	acsc(x)
Обратные гиперболические функции
Ареасинус arsh(x), arsinh(x), sin⁻¹	asinh(x)
Ареакосинус arch(x), arcosh(x), cosh⁻¹	acosh(x)
Ареатангенс arth(x), artanh(x), tanh⁻¹	atanh(x)
Ареакотангенс arcth(x), arcoth(x), coth⁻¹	acoth(x)
Ареасеканс arsch(x), arsech(x), sech⁻¹	asech(x)
Ареакосеканс arcsch(x), csch⁻¹	acsch(x)
Математические выражения
$\frac{3}{\sqrt{2}} + {(\frac{3}{2})}^{5}$	3/sqrt(2)+(3/2)^5
$\frac{3}{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{12} - \frac{4}{3}}$	3/(sqrt(2)*(1/12)-3/4)
${(\frac{5}{12} + \frac{3}{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$	(5/12 + 3/2 - 5)^(1/2)
$6 - 7 c o s {(\frac{3 π}{2})}^{2}$	6-7cos(3pi/2)^2

Укажите форму представления первого вектора
Укажите форму представления второго вектора

Задайте координаты первого вектора
a̅ = { ; ; }

Задайте координаты второго вектора
b̅ = { ; ; }

Базис

Представить координаты векторного произведения в виде десятичных дробей

Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов $\overset{―}{a}$ и $\overset{―}{b}$ в трехмерном евклидовом пространстве – называется вектор $\overset{―}{c}$ . Модуль вектора $\overset{―}{c}$ , численно равен площади параллелограмма $O A B Q$ , построенного на векторах $\overset{―}{a}$ и $\overset{―}{b}$ , то есть $| \overset{―}{c} |$ = $| \overset{―}{a} | | \overset{―}{b} | s i n (∠ \overset{―}{a} \overset{―}{b})$ .

Векторное произведение векторов $\overset{―}{a}$ и $\overset{―}{b}$ обозначается как: $[\overset{―}{a} \overset{―}{b}]$ , $[\overset{―}{a}, \overset{―}{b}]$ , $\overset{―}{a} \times \overset{―}{b}$ , $\overset{―}{a} \land \overset{―}{b}$

Направление получившегося вектора $\overset{―}{c}$ будет перпендикулярно плоскости параллелограмма $O A B Q$ .

В правом ортонормированном базисе векторное произведение векторов определяется как:
$\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = {a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}; a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}; a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}}$

Формула для координат векторного произведения вычисляется из определителя третьего порядка, где первая строка – векторы $i$ , $j$ , $k$
$\overset{―}{i} = {1; 0; 0}$ ,
$\overset{―}{j} = {0; 1; 0}$ ,
$\overset{―}{k} = {0; 0; 1}$ ,
а вторая и третья строки – координаты векторов $\overset{―}{a}$ и $\overset{―}{b}$ :

\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = | \begin{matrix} \overset{―}{i} & \overset{―}{j} & \overset{―}{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} | = \overset{―}{i} | \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{matrix} | - \overset{―}{j} | \begin{matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{matrix} | + \overset{―}{k} | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} | =

\overset{―}{i} a_{y} b_{z} - \overset{―}{i} a_{z} b_{y} - \overset{―}{j} a_{x} b_{z} + \overset{―}{j} a_{z} b_{x} + \overset{―}{k} a_{x} b_{y} - \overset{―}{k} a_{y} b_{x} =

\overset{―}{i} (a_{y} b_{z} - b_{y} a_{z}) - \overset{―}{j} (a_{x} b_{z} - b_{x} a_{z}) + \overset{―}{k} (a_{x} b_{y} - b_{x} a_{y})

Векторное произведение не обладает переместительным свойством, поэтому при перестановке множителей векторное произведение изменит знак: $\overset{―}{b} \times \overset{―}{a} = - (\overset{―}{a} \times \overset{―}{b})$

Векторное произведение равно нулю, когда векторы $\overset{―}{a}$ и $\overset{―}{b}$ коллинеарны (параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых или на одной прямой), а также если один из векторов или оба – нуль вектора.

В левом ортонормированном базисе векторное произведение векторов определяется как:
$\overset{―}{a} \times \overset{―}{b} = {a_{z} b_{y} - a_{y} b_{z}; a_{x} b_{z} - a_{z} b_{x}; a_{y} b_{x} - a_{x} b_{y}}$

Примеры векторного произведения векторов

Пример 1. Найдем векторное произведение векторов в правом ортонормированном базисе. Координаты обоих векторов заданны точками.

Координаты точки $A$ равны: $A (2; 4; - 5)$ .

Координаты точки $B$ равны: $B (3; - 9; 7)$ .

Координаты точки $C$ равны: $C (- 1; 5; - 2)$ .

Координаты точки $D$ равны: $D (9; 4; 12)$ .

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам

A

B

\overset{―}{A B} = {B_{x} - A_{x}; B_{y} - A_{y}; B_{z} - A_{z}}

\overset{―}{A B} = {3 - 2; - 9 - 4; 7 - (- 5)} =

{1; - 13; 12}

Вычислим координаты второго вектора по двум точкам

C

D

\overset{―}{C D} = {D_{x} - C_{x}; D_{y} - C_{y}; D_{z} - C_{z}}

\overset{―}{C D} = {9 - (- 1); 4 - 5; 12 - (- 2)} =

{10; - 1; 14}

$\overset{―}{A B} = {1; - 13; 12}$

$\overset{―}{C D} = {10; - 1; 14}$
В правом ортонормированном базисе векторное произведение векторов $\overset{―}{A B}$ и $\overset{―}{C D}$ вычисляется по формуле:

\overset{―}{A B} \times \overset{―}{C D} = {A B_{y} C D_{z} - A B_{z} C D_{y}; A B_{z} C D_{x} - A B_{x} C D_{z}; A B_{x} C D_{y} - A B_{y} C D_{x}}

\overset{―}{A B} \times \overset{―}{C D} =

{(- 13 \cdot 14) - (12 \cdot (- 1)); (12 \cdot 10) - (1 \cdot 14); (1 \cdot (- 1)) - (- 13 \cdot 10)} =

{- 170; 106; 129}

\overset{―}{A B} \times \overset{―}{C D} =

{- 170; 106; 129}

Пример 2. Найдем векторное произведение векторов в правом ортонормированном базисе.

$\overset{―}{a} = {5; 1; 7}$

$\overset{―}{b} = {2; 4; 6}$
В правом ортонормированном базисе векторное произведение векторов $\overset{―}{a}$ и $\overset{―}{b}$ вычисляется по формуле: