Калькулятор определителя матрицы

Правила ввода чисел и функций

Десятичная дробь $$1.5$$

Для записи десятичной дроби используйте точку, например, 1.12

Обыкновенная дробь $$\frac{a}{b}$$

Для ввода обыкновенных дробей воспользуйтесь знаком «/» , например, 1/2 или 3/4

Произведение чисел $$a \cdot b$$

Для записи произведения используйте знак «*», например, 5 * 4 или 5 * (3^9)

Экспоненциальная запись $$2.3 \cdot 10^{15}$$

Для записи чисел в экспоненциальной форме используйте букву «e».

Примеры:

$$2.3 \cdot 10^{15}$$ записывается как 2.3e+15

$$5.1 \cdot 10^{-6}$$ записывается как 5.1e-6

Число Эйлера $$e$$

Математическая константа, основание натурального логарифма. Приблизительно равно $$2.71828$$

Для записи числа Эйлера введите «e», например, e^2.

Число $$\pi$$

Для записи числа π введите «π», либо «pi», например, sin(π).

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$ записывается как sqrt(x), где x – любое число или выражение. Например, $$\sqrt{3}$$ записывается как sqrt(3)

$$\sqrt{\frac{3}{5}}$$ записывается как sqrt(3/5)

$$\sqrt{3 \cdot 3}$$ записывается как sqrt(3*3)

Корень любой степени $$\sqrt[n]{x}$$

Корень любой степени можно записать при помощи возведения в дробную степень через знак «^».
Формула: $$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$$

Примеры:
Кубический корень $$\sqrt[3]{x}$$ записывается как x^(1/3)
Корень 5-й степени $$\sqrt[5]{32}$$ записывается как 32^(1/5)

Возведение в степень $$x^n$$

Для возведения в степень используйте знак «^», где
Примеры:

$$5^3$$ записывается как 5^(3)

$$\left(\sqrt{3}\right)^{-2}$$ записывается как sqrt(3)^(-2)

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$ у которого основание равно числу Эйлера (е = 2.7182818284...), записывается как ln(n), где n > 0. Например, $$\ln(7)$$ записывается как ln(7).

Абсолютная величина $$\left| x \right|$$

Абсолютная величина (модуль) $$\left| x \right|$$ записывается как Abs(x)
>
$$\left| x-2 \right| - \left| x+2 \right|$$ записывается как Abs(x-2)-Abs(x+2)

$$\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|}$$ записывается как Abs(x)/Abs(y)

Тригонометрические функции

Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sin(45*pi/180).

Примеры записи функций:
• Синус sin(x) записывается как sin(x)
• Косинус cos(x) записывается как cos(x)
• Тангенс tg(x), tan(x) записывается как tan(x)
• Котангенс ctg(x), cot(x) записывается как cot(x)
• Секанс sec(x) записывается как sec(x)
• Косеканс csc(x), cosec(x) записывается как csc(x)

Гиперболические функции

Внимание! Параметр x должен быть указан в радианах. Если вам необходимо выполнить вычисления в градусах, то необходимо внутри функции сделать перевод из градусов в радианы, например, sinh(45*pi/180).

Примеры записи функций:
• Гиперболический синус sh(x), sinh(x) записывается как sinh(x)
• Гиперболический косинус ch(x), cosh(x) записывается как cosh(x)
• Гиперболический тангенс th(x), tanh(x) записывается как tanh(x)
• Гиперболический котангенс cth(x), coth(x) записывается как coth(x)
• Гиперболический секанс sch(x), sech(x) записывается как sech(x)
• Гиперболический косеканс csch(x) записывается как csch(x)

Обратные тригонометрические функции

Примеры записи функций:
• Арксинус arcsin(x) записывается как asin(x)
• Арккосинус arccos(x) записывается как acos(x)
• Арктангенс arctg(x), arctan(x) записывается как atan(x)
• Арккотангенс arcctg(x), arccot(x) записывается как acot(x)
• Арксеканс arcsec(x) записывается как asec(x)
• Арккосеканс arccsc(x) записывается как acsc(x)

Обратные гиперболические функции

Примеры записи функций:
• Ареасинус arsh(x), arsinh(x), sin⁻¹ записывается как asinh(x)
• Ареакосинус arch(x), arcosh(x), cosh⁻¹ записывается как acosh(x)
• Ареатангенс arth(x), artanh(x), tanh⁻¹ записывается как atanh(x)
• Ареакотангенс arcth(x), arcoth(x), coth⁻¹ записывается как acoth(x)
• Ареасеканс arsch(x), arsech(x), sech⁻¹ записывается как asech(x)
• Ареакосеканс arcsch(x), csch⁻¹ записывается как acsch(x)

Задайте размерность матрицы и введите значения её элементов. Обратите внимание: вычисление определителя возможно только для квадратных матриц (количество строк должно быть строго равно количеству столбцов).

Матрица A

О калькуляторе

Этот калькулятор находит определитель матрицы размером от 1×1 до 7×7 с подробным пошаговым разбором.

В качестве элементов можно вводить целые числа, десятичные и обыкновенные дроби, корни любой степени, константы $\pi$ и $e$, а также тригонометрические и гиперболические функции. Подробные правила ввода находятся вверху страницы.

Вывод решения разбит на шаги в зависимости от порядка матрицы:

Для матриц порядка 1×1, 2×2 и 3×3 — выводится формула определителя с подстановкой числовых значений исходной матрицы и расчётом результата.
Для матриц порядка выше 3×3 — применяется теорема о разложении определителя по первой строке. Калькулятор вычисляет значения дополнительных миноров и подставляет их в общую формулу.

Полученный результат вычислений можно скопировать в буфер обмена. Для этого просто нажмите на итоговое значение определителя. Данные скопируются в виде строки, которую удобно переносить в другие математические программы или текстовые документы.

Теория: Как найти определитель матрицы

Определитель квадратной матрицы: – это число (скалярная величина), характеризующее данную матрицу. Также вместо термина «определитель» используют слово детерминант. Вычислить определитель можно только для квадратной матрицы.

Квадратная матрица – это матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов.

Определитель матрицы A может обозначаться как: det(A), |A| или $\Delta$(A).

Как найти определитель матрицы размерности 2 × 2

Для матрицы 2 × 2 определитель вычисляется по формуле:

$$ det A = \begin{vmatrix}a&c\\b&d\\\end{vmatrix} = ad - bc $$

Приведем пример, вычислим определитель для матрицы A.

$$A = \begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}$$
$$det A = \begin{vmatrix}1&2\\3&4\\\end{vmatrix} = \left(1 \cdot 4\right) - \left(3 \cdot 2\right) = -2$$

Как найти определитель матрицы размерности 3 × 3

Для матрицы 3 × 3 определитель вычисляется по формуле:

$$det A = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$$

Приведем пример, вычислим определитель для матрицы A.

$$A = \begin{bmatrix}1&3&6\\2&4&5\\8&7&9\\\end{bmatrix}$$
$$det A = \begin{vmatrix}1&3&6\\2&4&5\\8&7&9\\\end{vmatrix}=1\begin{vmatrix}4&5\\7&9\\\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2&5\\8&9\\\end{vmatrix}+6\begin{vmatrix}2&4\\8&7\\\end{vmatrix}=$$ $$\left(1 \cdot 4 \cdot 9\right)-\left(1 \cdot 5 \cdot 7\right)-\left(3 \cdot 2 \cdot 9\right)+\left(3 \cdot 5 \cdot 8\right)+\left(6 \cdot 2 \cdot 7\right)-\left(6 \cdot 4 \cdot 8\right)= -41$$

Как найти определитель матрицы размерности 4 × 4

Для матрицы 4 × 4, как и для любой матрицы n × n определитель вычисляется по формуле разложения по строке:

$$ det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j} $$

Приведем пример, вычислим определитель для матрицы A.

$$ A = \begin{bmatrix}1&4&3&2\\-9&5&-16&7\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&0&-1\\6&-10&12&0\\\end{bmatrix}$$
Для матрицы размерности n × n значение определителя вычисляется по формуле:
$$det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$$

где $$M_{1j}$$ – дополнительный минор к элементу $$a_{1j}$$. Минор $$M_{1j}$$ – это определитель матрицы, получаемый из исходной матрицы А путем вычеркивания первой строки и $$j$$-го столбца. Так как чтобы вычислить каждый минор $$M_{1j}$$ необходимо также найти определитель, только меньшего порядка, его следует вычислять по всем правилам нахождения определителя. Ниже значение миноров будет дано без решения, если вам необходимо получить решение всех миноров, то вы можете отдельно вычислить их на данном калькуляторе.

Значение n = 4, поэтому необходимо найти 4 дополнительных минора путем вычеркивания первой строки и $$j$$-го столбца.

$$M_{11}=\begin{vmatrix}\color{lightgrey}{1}&\color{lightgrey}{4}&\color{lightgrey}{3}&\color{lightgrey}{2}\\\color{lightgrey}{-9}&5&-16&7\\\color{lightgrey}{\frac{1}{2}}&\sqrt{2}&0&-1\\\color{lightgrey}{6}&-10&12&0\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5&-16&7\\\sqrt{2}&0&-1\\-10&12&0\\\end{vmatrix}=-100+84\sqrt{2}$$
$$M_{12}=\begin{vmatrix}\color{lightgrey}{1}&\color{lightgrey}{4}&\color{lightgrey}{3}&\color{lightgrey}{2}\\-9&\color{lightgrey}{5}&-16&7\\\frac{1}{2}&\color{lightgrey}{\sqrt{2}}&0&-1\\6&\color{lightgrey}{-10}&12&0\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-9&-16&7\\\frac{1}{2}&0&-1\\6&12&0\\\end{vmatrix}=30$$
$$M_{13}=\begin{vmatrix}\color{lightgrey}{1}&\color{lightgrey}{4}&\color{lightgrey}{3}&\color{lightgrey}{2}\\-9&5&\color{lightgrey}{-16}&7\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&\color{lightgrey}{0}&-1\\6&-10&\color{lightgrey}{12}&0\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-9&5&7\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&-1\\6&-10&0\\\end{vmatrix}=25-42\sqrt{2}$$
$$M_{14}=\begin{vmatrix}\color{lightgrey}{1}&\color{lightgrey}{4}&\color{lightgrey}{3}&\color{lightgrey}{2}\\-9&5&-16&\color{lightgrey}{7}\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&0&\color{lightgrey}{-1}\\6&-10&12&\color{lightgrey}{0}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-9&5&-16\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&0\\6&-10&12\\\end{vmatrix}=50-12\sqrt{2}$$

Выпишем значения получившихся миноров:

$$M_{11}$$	$$=$$	$$-100+84\sqrt{2}$$
$$M_{12}$$	$$=$$	$$30$$
$$M_{13}$$	$$=$$	$$25-42\sqrt{2}$$
$$M_{14}$$	$$=$$	$$50-12\sqrt{2}$$

Исходя из приведенной выше формулы, распишем сумму:
$$det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}=$$$$(-1)^{1+1} a_{11} M_{11}+(-1)^{1+2} a_{12} M_{12}+(-1)^{1+3} a_{13} M_{13}+(-1)^{1+4} a_{14} M_{14}$$
$$det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}=$$$$\left(1\cdot 1\cdot -100+84\sqrt{2}\right)+\left(-1\cdot 4\cdot 30\right)+\left(1\cdot 3\cdot \left(25-42\sqrt{2}\right)\right)+\left(-1\cdot 2\cdot 50-12\sqrt{2}\right)=-245-18\sqrt{2}=-270.455844122716$$
$$ det A = -245-18\sqrt{2}=-270.455844122716$$