Как найти определитель матрицы
Определитель квадратной матрицы – это число, скалярная величина характеризующее данную матрицу. Также вместо термина определитель, используют слово – детерминант.
Вычислить определитель можно только для квадратной матрицы.
Квадратная матрицы – это матрица у которой число строк совпадает с числом столбцов.
Определитель матрицы A может обозначатся как: det(A), |A| или Δ(A).
Как найти определитель матрицы размерности 2 × 2
Для матрицы 2 × 2 определитель вычисляется по формуле:
$$ det A = \begin{vmatrix}a&c\\b&d\\\end{vmatrix} = ad - bc $$
Приведем пример, вычислим определитель для матрицы A.
$$A = \begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}$$
$$det A = \begin{vmatrix}1&2\\3&4\\\end{vmatrix} = \left(1 \cdot 4\right) - \left(3 \cdot 2\right) = -2$$
Как найти определитель матрицы размерности 3 × 3
Для матрицы 3 × 3 определитель вычисляется по формуле:
$$det A = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{vmatrix}=$$
$$a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$$
Приведем пример, вычислим определитель для матрицы A.
$$A = \begin{bmatrix}1&3&6\\2&4&5\\8&7&9\\\end{bmatrix}$$
$$det A = \begin{vmatrix}1&3&6\\2&4&5\\8&7&9\\\end{vmatrix}=1\begin{vmatrix}4&5\\7&9\\\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2&5\\8&9\\\end{vmatrix}+6\begin{vmatrix}2&4\\8&7\\\end{vmatrix}=$$
$$\left(1 \cdot 4 \cdot 9\right)-\left(1 \cdot 5 \cdot 7\right)-\left(3 \cdot 2 \cdot 9\right)+\left(3 \cdot 5 \cdot 8\right)+\left(6 \cdot 2 \cdot 7\right)-\left(6 \cdot 4 \cdot 8\right)= -41$$
Как найти определитель матрицы размерности 4 × 4
Для матрицы 4 × 4, как и для любой матрицы n × n определитель вычисляется по формуле разложения по строке:
$$ det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j} $$
Приведем пример, вычислим определитель для матрицы A.
$$ A = \begin{bmatrix}1&4&3&2\\-9&5&-16&7\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&0&-1\\6&-10&12&0\\\end{bmatrix}$$
Для матрицы размерности n × n значение определителя вычисляется по формуле:
$$det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$$
где $$M_{1j}$$ – дополнительный минор к элементу $$a_{1j}$$. Минор $$M_{1j}$$ – это определитель матрицы, получаемый из исходной матрицы А путем вычеркивания первой строки и $$j$$-го столбца. Так как чтобы вычислить каждый минор $$M_{1j}$$ необходимо также найти определитель, только меньшего порядка, его следует вычислять по всем правилам нахождения определителя. Ниже значение миноров будет дано без решения, если вам необходимо получить решение всех миноров, то вы можете отдельно вычислить их на данном калькуляторе.
Значение n = 4, поэтому необходимо найти 4 дополнительных минора путем вычеркивания первой строки и $$j$$-го столбца.
$$M_{11}=\begin{vmatrix}\color{lightgrey}{1}&\color{lightgrey}{4}&\color{lightgrey}{3}&\color{lightgrey}{2}\\\color{lightgrey}{-9}&5&-16&7\\\color{lightgrey}{\frac{1}{2}}&\sqrt{2}&0&-1\\\color{lightgrey}{6}&-10&12&0\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5&-16&7\\\sqrt{2}&0&-1\\-10&12&0\\\end{vmatrix}=-100+84\sqrt{2}$$
$$M_{12}=\begin{vmatrix}\color{lightgrey}{1}&\color{lightgrey}{4}&\color{lightgrey}{3}&\color{lightgrey}{2}\\-9&\color{lightgrey}{5}&-16&7\\\frac{1}{2}&\color{lightgrey}{\sqrt{2}}&0&-1\\6&\color{lightgrey}{-10}&12&0\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-9&-16&7\\\frac{1}{2}&0&-1\\6&12&0\\\end{vmatrix}=30$$
$$M_{13}=\begin{vmatrix}\color{lightgrey}{1}&\color{lightgrey}{4}&\color{lightgrey}{3}&\color{lightgrey}{2}\\-9&5&\color{lightgrey}{-16}&7\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&\color{lightgrey}{0}&-1\\6&-10&\color{lightgrey}{12}&0\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-9&5&7\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&-1\\6&-10&0\\\end{vmatrix}=25-42\sqrt{2}$$
$$M_{14}=\begin{vmatrix}\color{lightgrey}{1}&\color{lightgrey}{4}&\color{lightgrey}{3}&\color{lightgrey}{2}\\-9&5&-16&\color{lightgrey}{7}\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&0&\color{lightgrey}{-1}\\6&-10&12&\color{lightgrey}{0}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-9&5&-16\\\frac{1}{2}&\sqrt{2}&0\\6&-10&12\\\end{vmatrix}=50-12\sqrt{2}$$
Выпишем значения получившихся миноров:
| $$M_{11}$$ | $$=$$ | $$-100+84\sqrt{2}$$ |
| $$M_{12}$$ | $$=$$ | $$30$$ |
| $$M_{13}$$ | $$=$$ | $$25-42\sqrt{2}$$ |
| $$M_{14}$$ | $$=$$ | $$50-12\sqrt{2}$$ |
Исходя из приведенной выше формулы, распишем сумму:
$$det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}=$$$$(-1)^{1+1} a_{11} M_{11}+(-1)^{1+2} a_{12} M_{12}+(-1)^{1+3} a_{13} M_{13}+(-1)^{1+4} a_{14} M_{14}$$
$$det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}=$$$$\left(1\cdot 1\cdot -100+84\sqrt{2}\right)+\left(-1\cdot 4\cdot 30\right)+\left(1\cdot 3\cdot \left(25-42\sqrt{2}\right)\right)+\left(-1\cdot 2\cdot 50-12\sqrt{2}\right)=-245-18\sqrt{2}=-270.455844122716$$
$$ det A = -245-18\sqrt{2}=-270.455844122716$$