Теория: Как сравнивать обыкновенные и смешанные дроби
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Если знаменатели одинаковые, это значит, что размеры всех долей равны между собой. В таком случае для сравнения достаточно посмотреть на числители, которые показывают количество этих долей.
- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Пример: Сравним $\displaystyle \frac{5}{7}$ и $\displaystyle \frac{3}{7}$. Так как знаменатели равны, мы сравниваем числители: $5 > 3$. Значит, первая дробь больше: $\displaystyle \frac{5}{7} > \frac{3}{7}$. Если представить это в виде пирога, то $5$ кусочков из $7$ всегда больше, чем $3$ таких же кусочка.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Числитель показывает, сколько долей было взято. Если числители одинаковые, это значит, что взяли одинаковое количество кусочков, но само целое было разделено на разное число частей. Чем меньше знаменатель, тем на меньшее количество долей делили целое, а значит, каждая отдельная доля получилась крупнее.
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Пример: Сравним $\displaystyle \frac{4}{5}$ и $\displaystyle \frac{4}{9}$. Числители равны, но пятые доли крупнее девятых, так как $5 < 9$. Значит, первая дробь больше: $\displaystyle \frac{4}{5} > \frac{4}{9}$. Представьте два одинаковых пирога: если один разделить на $5$ частей, а другой — на $9$, то в первом случае куски будут гораздо больше. Четыре больших куска больше четырёх маленьких.
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Если у дробей отличаются и числители, и знаменатели, выполнить сравнение сразу не получится, так как размер долей и их количество не совпадают. Чтобы сделать такое сравнение возможным, дроби необходимо привести к общему знаменателю — найти наименьшее число, которое делится без остатка на оба исходных знаменателя.
- Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, сначала их нужно привести к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), а затем сравнить полученные дроби по правилу одинаковых знаменателей.
Пример: Сравним $\displaystyle \frac{2}{3}$ и $\displaystyle \frac{3}{4}$. Их наименьший общий знаменатель равен $12$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $4$, а для второй — $3$. Получаем новые дроби с одинаковыми знаменателями: $\displaystyle \frac{8}{12}$ и $\displaystyle \frac{9}{12}$. Так как числитель $8 < 9$, то и исходная первая дробь меньше: $\displaystyle \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.
Сравнение смешанных дробей (смешанных чисел)
Смешанные дроби объединяют в себе целое число и дробную часть. Для сравнения таких дробей их переводят в неправильные дроби.
- Чтобы сравнить смешанные дроби, сначала выполняют сокращение дробных частей (если это возможно), затем переводят их в неправильные дроби и сравнивают полученные результаты по правилам сравнения обыкновенных дробей.
Пример 1 (с переводом в неправильные дроби):
Сравним $\displaystyle 1\frac{1}{4}$ и $\displaystyle \frac{2}{3}$.
- Переведем смешанное число в неправильную дробь. Умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель: $\displaystyle \frac{(1 \cdot 4) + 1}{4} = \mathbf{\frac{5}{4}}$.
- Приведем полученные дроби к общему знаменателю. Сравним $\displaystyle \frac{5}{4}$ и $\displaystyle \frac{2}{3}$. Их наименьший общий знаменатель равен $12$.
- Запишем дроби с новым знаменателем: первая дробь примет вид $\displaystyle \mathbf{\frac{15}{12}}$, а вторая — $\displaystyle \mathbf{\frac{8}{12}}$.
- Сравним числители: так как $15 > 8$, то $\displaystyle \frac{15}{12} > \frac{8}{12}$.
Значит: $\displaystyle 1\frac{1}{4} > \frac{2}{3}$.
Пример 2 (с предварительным сокращением):
Сравним $\displaystyle 1\frac{4}{6}$ и $\displaystyle \frac{1}{4}$.
- Сократим дробную часть первого числа. Разделим её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель — $2$. Получим смешанную дробь $\displaystyle \mathbf{1\frac{2}{3}}$.
- Переведем её в неправильную дробь: $\displaystyle \frac{(1 \cdot 3) + 2}{3} = \mathbf{\frac{5}{3}}$.
- Приведем дроби к общему знаменателю. Сравним $\displaystyle \frac{5}{3}$ и $\displaystyle \frac{1}{4}$. Их наименьший общий знаменатель равен $12$.
- Запишем дроби с новым знаменателем: первая дробь примет вид $\displaystyle \mathbf{\frac{20}{12}}$, а вторая — $\displaystyle \mathbf{\frac{3}{12}}$.
- Сравним числители: так как $20 > 3$, то $\displaystyle \frac{20}{12} > \frac{3}{12}$.
Значит: $\displaystyle 1\frac{4}{6} > \frac{1}{4}$.
Сравнение отрицательных дробей
При работе с отрицательными числами знаки неравенств меняются на противоположные. На числовой оси отрицательные значения уходят влево от нуля: чем дальше число продвинулось в отрицательную сторону, тем меньше его математическое значение.
- Любая положительная дробь (или ноль) всегда больше любой отрицательной дроби.
- Из двух отрицательных дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель (без учёта знака минус) меньше, так как она находится ближе к нулю.
Пример: Сравним $\displaystyle -\frac{2}{5}$ и $\displaystyle -\frac{4}{5}$. Если убрать знаки минус, то числитель $2 < 4$. Это означает, что на числовой прямой дробь $\displaystyle -\frac{2}{5}$ расположена ближе к нулю (правее), чем дробь $\displaystyle -\frac{4}{5}$. Следовательно, первая дробь больше: $\displaystyle -\frac{2}{5} > -\frac{4}{5}$.