Калькулятор суммы

Правила ввода чисел и функций

Десятичная дробь $$1.5$$

Для записи десятичной дроби используйте точку, например, 1.12

Обыкновенная дробь $$\frac{a}{b}$$

Для ввода обыкновенных дробей воспользуйтесь знаком «/» , например, 1/2 или 3/4

Произведение чисел $$a \cdot b$$

Для записи произведения используйте знак «*», например, 5 * 4 или 5 * (3^9)

Число $$\pi$$

Для записи числа π введите «π», либо «pi», например, sin(π).

Число Эйлера $$\mathrm{e}$$

е = 2.7182818284... Для записи числа e введите 2.7182818284.

Инженерная запись числа $$\texttt{2.5E4}$$

Буква $$e$$ в числе означает умножение на $$10^n$$. Например, $$16e{+}6$$, $$16e{-}4$$, $$3.96e{+}3$$

Абсолютная величина $$\left| x \right|$$

Абсолютная величина (модуль) $$\left| x \right|$$ записывается как Abs(x)
>
$$\left| x-2 \right| - \left| x+2 \right|$$ записывается как Abs(x-2)-Abs(x+2)

$$\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|}$$ записывается как Abs(x)/Abs(y)

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$

Квадратный корень $$\sqrt{x}$$ записывается как sqrt(x), где x – любое число или выражение. Например, $$\sqrt{3}$$ записывается как sqrt(3)

$$\sqrt{\frac{3}{5}}$$ записывается как sqrt(3/5)

$$\sqrt{3 \cdot 3}$$ записывается как sqrt(3*3)

Корень любой степени $$\sqrt[n]{x}$$

Корень любой степени root(x, n), где
x – подкореное выражение
n – степень корня
x, n – любые числа или выражения.
Для корня четной степени, подкореное выражение не может быть отрицательным.

Примеры:
$$\sqrt[3]{\dfrac{1}{7}}$$ записывается как root(1/7, 3)

$$\sqrt[3]{1.5}$$ записывается как root(1.5, 3)

$$\sqrt[\frac{3}{2}]{8}$$ записывается как root(8, 3/2)

$$\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{1}{6}}}$$ записывается как root(sqrt(1/6), 3)

Корень (в области вещественных чисел)

Если вам не нужно вычислять значение корня в области комплексных чисел, используйте функцию real_root(x, n) для нахождения вещественных корней, где

x – подкореное выражение
n – степень корня
x, n – любые числа или выражения.

$$\sqrt[3]{-2}$$ записывается как real_root(-2, 3)

Возведение в степень $$x^n$$

Для возведения в степень используйте знак «^» либо функцию pow(x, n), где
x – основание
n – показатель степени
x, n – любые числа или выражения.

Примеры:

$$5^3$$ записывается как 5^(3) или pow(5, 3)

$$a^{b \; \cdot \; c}$$ записывается как a^(b*c) или pow(a, (b*c))

$$5^{\sin{x}}$$ записывается как 5^(sin(x)) или pow(5, sin(x))

$$\left(\sqrt{3}\right)^{-2}$$ записывается как sqrt(3)^(-2) или pow(sqrt(3), -2)

Логарифм числа $$\log_{n}(x)$$

Логарифм числа $$\log_{n}(x)$$, записывается как log(x, n), где
x – аргумент логарифма
n – основание логарифма
x > 0, x ≠ 1, n > 0

Пример:
$$\log_{5}(34)$$ (логарифм числа 34 по основанию 5), запишем как log(34, 5).

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$

Натуральный логарифм $$\ln(n)$$ у которого основание равно числу Эйлера (е = 2.7182818284...), записывается как ln(n), где n > 0. Например, $$\ln(7)$$ записывается как ln(7).

Наибольший общий делитель НОД

Наибольший общий делитель НОД(a, b), записывается как gcd(a, b), где a, b – целые неотрицательные числа.

Пример, НОД(12, 16) нужно записать как gcd(12, 16).

Наименьшее общее кратное НОК

Наименьшее общее кратное НОК(a, b), записывается как lcm(a, b), где a, b – целые неотрицательные числа.

Пример, НОК(4, 23) нужно записать как lcm (4, 23).

Тригонометрические функции

Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберите DEG, в радианах выберите RAD.

Функция синус $$\sin x$$ записывается как sin(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\sin{\frac{\pi}{3}}$$ записывается как sin(π/3)

$$\sin^2(x)$$ записывается как sin(x)^2

$$\sin\left(2\pi - \frac{t}{2}\right)$$ записывается как sin((2/pi) - t)

Синус 60° градусов записывается как sin(60).

Функция косинус $$\cos x$$ записывается как cos(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\cos \frac{3\pi}{2}$$ записывается как cos(3pi/2)

$$\cos \frac{\pi}{3}$$ записывается как cos(pi/3)

Косинус 60° градусов записывается как cos(60).

Функция тангенс $$\operatorname{tg} x$$ записывается как tan(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$$ записывается как tan(pi/4)

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}$$ записывается как tan(pi/3)

$$\operatorname{tg} 45$$ записывается как tan(45).

Функция котангенс $$\operatorname{ctg} x$$ записывается как cot(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}$$ записывается как cot(pi/4)

$$\operatorname{ctg} 45$$ записывается как cot(45)

$$\operatorname{ctg}^2(x)$$ записывается как cot(x)^2

$$\operatorname{ctg} \sqrt{3}$$ записывается как cot(sqrt(3))

$$\operatorname{ctg} (x+y)$$ записывается как cot(x+y)

$$\operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{3} + x\right)$$ записывается как cot(pi/3 + x)

Функция секанс $$\sec x$$ записывается как sec(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\sec^2(x)$$ записывается как sec(x)^2

$$\sec \sqrt{2}$$ записывается как sec(sqrt(2))

$$\sec (x+y)$$ записывается как sec(x+y)

Функция косеканс $$\operatorname{cosec} x$$ записывается как csc(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\operatorname{cosec} 30$$ записывается как csc(30)

$$\operatorname{cosec} \sqrt{3}$$ записывается как csc(sqrt(3))

$$\operatorname{cosec} \left(\frac{\pi}{4} + x\right)$$ записывается как csc(pi/4 + x)

Обратные тригонометрические функции

Функция арксинус $$\arcsin x$$ записывается как asin(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\arcsin \frac{1}{2}$$ записывается как asin(1/2)

$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$$ записывается как asin(sqrt(2)/2)

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$$ записывается как asin(sqrt(3)/2)

Функция арккосинус $$\arccos x$$ записывается как acos(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\arccos \frac{1}{2}$$ записывается как acos(1/2)

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$$ записывается как acos(sqrt(2)/2)

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$$ записывается как acos(sqrt(3)/2)

Функция арктангенс $$\operatorname{arctg} x$$ записывается как atan(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\operatorname{arctg} 1$$ записывается как atan(1)

$$\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}}$$ записывается как atan(1/sqrt(3))

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3}$$ записывается как atan(sqrt(3))

Функция арккотангенс $$\operatorname{arcctg} x$$ записывается как acot(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\operatorname{arcctg} \frac{1}{\sqrt{3}}$$ записывается как acot(1/sqrt(3))

$$\operatorname{arcctg} 1$$ записывается как acot(1)

$$\operatorname{arccot} \frac{1}{\sqrt{3}}$$ записывается как acot(1/sqrt(3))

$$\operatorname{arcctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$ записывается как acot(-1/sqrt(3))

Функция арксеканс $$\operatorname{arcsec} x$$ записывается как asec(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\operatorname{arcsec} 2$$ записывается как asec(2)

$$\operatorname{arcsec} \left(-\sqrt{2}\right)$$ записывается как asec(-sqrt(2))

$$\operatorname{arcsec} \frac{3}{2}$$ записывается как asec(3/2)

Функция арккосеканс $$\operatorname{arccsc} x$$ записывается как acsc(x), где x – число, буква или выражение.

Примеры:

$$\operatorname{arccsc} 2$$ записывается как acsc(2)

$$\operatorname{arccsc} \left(-\frac{3}{2}\right)$$ записывается как acsc(-3/2)

$$\operatorname{arccsc} \sqrt{2}$$ записывается как acsc(sqrt(2))

Выражения с множественным вложением функций и операций

Примеры:

$$\sqrt{1 + \sin^2 x}$$ записывается как sqrt(1 + sin(x)^2)

$$\frac{\arctan y + \ln z}{\sqrt{x}}$$ записывается как (atan(y) + ln(z)) / sqrt(x)

$$\sin(\arccos t)$$ записывается как sin(acos(t))

$$\frac{1}{1 + e^{-x}}$$ записывается как 1 / (1 + e^(-x))

$$\sqrt{\frac{1 + \cos^2(\theta)}{2}}$$ записывается как sqrt((1 + cos(theta)^2)/2)

$$\ln\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$$ записывается как ln(sqrt(x^2 + y^2))

$$ \sum_{i=m}^{n} a_i $$

$$a_i$$ – член суммы
$$i$$ – индекс суммирования
$$n$$ – верхняя граница суммирования
$$m$$ – нижняя граница суммирования

Член суммы

Индекс суммирования

Верхняя граница суммирования

Нижняя граница суммирования

Галерея шаблонов примеров

$$ \sum_{i=1}^{10} i $$

$$ \sum_{i=0}^{3} 2^i $$

$$ \sum_{m=1}^{3} \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1} $$

$$ \sum_{a=-2}^{3} a+3 $$

$$ \sum_{z=-2}^{4} z^2 $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} $$

$$ \sum_{n=0}^{\infty} {\frac{1}{2}}^{n} $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n + 1)} $$

Показать ход решения

Результат

\sum_{i = 1}^{3} (i + n)

3 \cdot n + 6

\sum_{i = 1}^{3} (i + n)

(n + (1))

+

(n + (2))

+

(n + (3))

3 \cdot n + 6

О калькуляторе

Калькулятор предназначен для практической работы с суммами: укажите член суммы (например n + i), индекс суммирования и нижнюю/верхнюю границы, затем нажмите «Вычислить». Поддерживаются как конечные, так и бесконечные суммы (вводите oo для ∞ и -oo для −∞). Результат выводится сразу; при необходимости вы можете изменить параметры и выполнить расчёт заново.

Если обе границы — целые числа и количество слагаемых невелико (по умолчанию — меньше 10), дополнительно показывается пошаговая раскладка: каждый член суммы подставляется в выражение и выводится в виде последовательности слагаемых (с разделением символом «+»), чтобы можно было явно увидеть, из каких частей складывается итог.

В блоке «Галерея шаблонов примеров» находятся готовые примеры: нажмите на любой шаблон, и все поля калькулятора будут автоматически заполнены выбранным примером — затем можно сразу выполнить вычисление или посмотреть пошаговую раскладку, если она применима.

Теория: сумма в математике

Сумма: Сумма — это результат операции сложения ряда чисел или математических выражений. Она используется для компактной записи длинных выражений сложения.

Знак сигмы $$\Sigma$$

В математике для обозначения суммирования используется прописная греческая буква сигма $$\Sigma$$. Запись с использованием этого знака называется сигма-обозначением или нотацией суммирования. Это удобный способ представить сумму множества однотипных слагаемых.

Общий вид записи суммы:

$$ \sum_{i=m}^{n} a_i $$

Элементы сигма-обозначения

Рассмотрим подробно каждый компонент в формуле $$\sum_{i=m}^{n} a_i$$:

$$\sum$$ (Сигма): Специальный символ, обозначающий операцию суммирования.
$$a_i$$ (член суммы): Общее выражение или формула, которая определяет каждое слагаемое в ряду. Это выражение зависит от индекса $$i$$. Например, если $$a_i = 2i$$, то слагаемые будут $$2m$$, $$2(m+1)$$, $$\ldots$$, $$2n$$.
$$i$$ (индекс суммирования): Переменная-счетчик (также называемая фиктивным индексом). Она принимает последовательные целые значения, начиная от нижней границы и заканчивая верхней границей.
$$m$$ (нижняя граница суммирования): Начальное значение, которое принимает индекс $$i$$. Суммирование начинается с этого значения.
$$n$$ (верхняя граница суммирования): Конечное значение, которое принимает индекс $$i$$. Суммирование заканчивается, когда индекс достигает этого значения. Значение $$n$$ должно быть больше или равно $$m$$.

Процесс вычисления

Чтобы вычислить сумму, нужно последовательно подставлять все целые значения индекса $$i$$ от $$m$$ до $$n$$ в выражение $$a_i$$ и сложить все полученные результаты.

Пример:
$$ \sum_{i=1}^{4} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 $$

Здесь:

$$a_i = i^2$$
$$i$$ — индекс суммирования
$$m = 1$$ — нижняя граница
$$n = 4$$ — верхняя граница

Сумма бесконечного ряда

Сумма бесконечного числа слагаемых, называемая также суммой ряда — это математическое выражение, при помощи которого можно записать бесконечное число слагаемых.

Общий вид записи бесконечной суммы (ряда), где верхняя граница суммирования стремится к бесконечности ($$\infty$$):

$$ \sum_{i=m}^{\infty} a_i $$

Сходимость и расходимость ряда

Ключевым понятием для бесконечных сумм является их поведение при увеличении числа слагаемых. Это определяет, имеет ли сумма конечное значение.

Сходящийся ряд: Если предел частичных сумм ряда равен конечному числу (то есть сумма имеет конкретное конечное значение), то такой ряд называется сходящимся.
Расходящийся ряд: Если предела частичных сумм не существует, либо он равен бесконечности ($$\infty$$ или $$-\infty$$), то такой ряд расходится и является расходящимся.

Пример сходящегося ряда (Геометрическая прогрессия)

Классический пример сходящегося ряда — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с модулем знаменателя меньше единицы ($$|q| < 1$$). Например, сумма $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$$:

$$ \sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^i = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 1 $$

Этот ряд сходится к конечному числу 1.

Методы определения сходимости ряда

Для определения того, сходится ли бесконечный ряд, используются различные признаки. Выбор метода зависит от вида общего члена ряда ($a_{i}$).

1. Необходимый признак сходимости

Это самый первый и важный тест. Если он не выполняется, ряд точно расходится.

Суть: Если ряд сходится, то его отдельные члены (слагаемые) обязательно должны стремиться к нулю при увеличении индекса $i$:

$$ \lim _{i\rightarrow \infty }a_{i}=0 $$

Внимание (подводный камень): Если члены ряда стремятся к нулю, это НЕ гарантирует сходимость! Например, гармонический ряд $\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{i}$ расходится, хотя его члены $\frac{1}{i}$ стремятся к нулю.

2. Признаки сравнения (для рядов с положительными членами)

Эти методы работают, если все члены ряда положительны. Мы сравниваем наш «неизвестный» ряд с другим рядом, о котором мы точно знаем, сходится он или расходится (например, с геометрической прогрессией или P-рядом).

Признак 1 (Прямое сравнение): Если члены вашего ряда меньше, чем члены известного сходящегося ряда, то ваш ряд тоже сходится. Если члены вашего ряда больше, чем члены известного расходящегося ряда, то ваш ряд тоже расходится.
Признак 2 (Предельное сравнение): Часто удобнее использовать предел отношения членов двух рядов. Если предел отношения $a_{i}/b_{i}$ равен конечному положительному числу, то оба ряда ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся.

3. Признак Даламбера (отношение)

Отлично подходит для рядов с факториалами ($i!$) или степенями ($2^{i}$, $3^{i}$). Нужно найти предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:

$$ L=\lim _{i\rightarrow \infty }\left|\frac{a_{i+1}}{a_{i}}\right| $$

Если $L<1$ — ряд сходится.
Если $L>1$ — ряд расходится.
Если $L=1$ — метод не дает ответа (нужно пробовать другие признаки).

4. Интегральный признак (Признак Коши)

Если члены ряда можно представить как непрерывную, положительную и монотонно убывающую функцию $f(x)$, то сходимость ряда эквивалентна сходимости несобственного интеграла.

Суть: Вычисляем интеграл $\int _{m}^{\infty }f(x)\,dx$.

Если интеграл имеет конечное значение — ряд сходится.
Если интеграл равен бесконечности — ряд расходится.

5. Признак Лейбница (для знакочередующихся рядов)

Это специальный признак для рядов, знаки членов которых чередуются ($+-+-\dots $).

Ряд сходится (условно), если выполняются два простых условия:

Члены ряда монотонно убывают по модулю (то есть каждое следующее число меньше предыдущего, если убрать знаки).
Модуль общего члена стремится к нулю: $\lim _{i\rightarrow \infty }|a_{i}|=0$.