Вневписанная окружность треугольника - это окружность, которая касается одной из сторон треугольника и продолжает касаться продолжений двух других сторон треугольника. В отличие от вписанной окружности, вневписанная окружность лежит снаружи треугольника.

У любого треугольника существует три вневписанных окружности:

Вневписанная окружность, касающаяся стороны a обозначается как r_a.
Вневписанная окружность, касающаяся стороны b обозначается как r_b.
Вневписанная окружность, касающаяся стороны c обозначается как r_c.

Формулы вычисления радиуса вневписанной окружности треугольника

По трем сторонам треугольника

r_{a} = \frac{\sqrt{2 \cdot a^{2} \cdot b^{2} - a^{4} + 2 \cdot a^{2} \cdot c^{2} - b^{4} + 2 \cdot b^{2} \cdot c^{2} - c^{4}}}{2 \cdot (b - a + c)}

r_{b} = \frac{\sqrt{2 \cdot a^{2} \cdot b^{2} - a^{4} + 2 \cdot a^{2} \cdot c^{2} - b^{4} + 2 \cdot b^{2} \cdot c^{2} - c^{4}}}{2 \cdot (a - b + c)}

r_{c} = \frac{\sqrt{2 \cdot a^{2} \cdot b^{2} - a^{4} + 2 \cdot a^{2} \cdot c^{2} - b^{4} + 2 \cdot b^{2} \cdot c^{2} - c^{4}}}{2 \cdot (a + b - c)}

где,
a, b, c – стороны треугольника

По площади, стороне и периметру треугольника

r_{a}

=

- \frac{S}{a - p}

r_{b}

=

- \frac{S}{b - p}

r_{c}

=

- \frac{S}{c - p}

где,
a, b, c – стороны треугольника
S – площадь треугольника
p – полупериметр треугольника

По радиусу вписанной окружности и двум другим вневписанным окружностям треугольника

r_{a}

=

- \frac{1}{\frac{1}{r_{b}} - \frac{1}{r} + \frac{1}{r_{c}}}

r_{b}

=

- \frac{1}{\frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r} + \frac{1}{r_{c}}}

r_{c}

=

- \frac{1}{\frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r} + \frac{1}{r_{b}}}

где,
r – радиус вписанной окружности в треугольник
r_a, r_b, r_c – радиусы вневписанных окружностей треугольника

По площади, периметру и двум другим вневписанным окружностям треугольника

r_{a}

=

\frac{S \cdot p}{r_{b} \cdot r_{c}}

r_{b}

=

\frac{S \cdot p}{r_{a} \cdot r_{c}}

r_{c}

=

\frac{S \cdot p}{r_{a} \cdot r_{b}}

где,
S – площадь треугольника
p – полупериметр треугольника
r_a, r_b, r_c – радиусы вневписанных окружностей треугольника

По радиусу описанной окружности и трем углам треугольника

r_{a} = \frac{\sqrt{R^{4} \cdot (- {\sin (α)}^{4} + 2 \cdot {\sin (α)}^{2} \cdot {\sin (β)}^{2} + 2 \cdot {\sin (α)}^{2} \cdot {\sin (γ)}^{2} - {\sin (β)}^{4} + 2 \cdot {\sin (β)}^{2} \cdot {\sin (γ)}^{2} - {\sin (γ)}^{4})}}{R \cdot (- \sin (α) + \sin (β) + \sin (γ))}

r_{b} = \frac{\sqrt{R^{4} \cdot (- {\sin (α)}^{4} + 2 \cdot {\sin (α)}^{2} \cdot {\sin (β)}^{2} + 2 \cdot {\sin (α)}^{2} \cdot {\sin (γ)}^{2} - {\sin (β)}^{4} + 2 \cdot {\sin (β)}^{2} \cdot {\sin (γ)}^{2} - {\sin (γ)}^{4})}}{R \cdot (\sin (α) - \sin (β) + \sin (γ))}

r_{c} = \frac{\sqrt{R^{4} \cdot (- {\sin (α)}^{4} + 2 \cdot {\sin (α)}^{2} \cdot {\sin (β)}^{2} + 2 \cdot {\sin (α)}^{2} \cdot {\sin (γ)}^{2} - {\sin (β)}^{4} + 2 \cdot {\sin (β)}^{2} \cdot {\sin (γ)}^{2} - {\sin (γ)}^{4})}}{R \cdot (\sin (α) + \sin (β) - \sin (γ))}

где,
∠α ∠β ∠γ - углы треугольника,
sin() - функция синуса (принимает значение угла в радианах, если при решении задач угол задан в градусах, необходимо перевести градусы в радианы).