Десятичные дроби

Десятичные дроби появились для упрощения записи обыкновенных дробей со знаменателями, являющимися степенью числа $$10$$. Это такие знаменатели как: $$10, 100, 1000, 10000$$ и т.д.

Для записи десятичной дроби целая и дробная части отделяются друг от друга запятой, а если у дроби нет целой части, то слева от запятой следует записать 0.

Для того чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо просто внимательно эту дробь прочитать, например, дробь $$5,079$$ читается как «$$5$$ целых $$79$$ тысячных». Число $$5$$ записываем как целую часть, $$79$$ будет числителем. Для записи знаменателя смотрим, сколько знаков у десятичной дроби после запятой, в данном случае три, следовательно, знаменатель дроби будет $$1$$ и три ноля, $$1000$$, получим: $$5,079 = 5\frac{79}{1000}$$.

Возьмём для примера еще одну десятичную дробь $$0,03$$ читается как «ноль целых три сотых». У этой дроби нет целой части, количество знаков после запятой $$2$$, значит знаменатель будет $$1$$ и два ноля, числитель равен $$3$$, получим $$0,03 = \frac{3}{100}$$.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, у обыкновенной дроби знаменатель должен быть вида: $$10, 100, 1000, 10000$$ и т.д. Так же у этой дроби количество цифр в числителе должно быть меньше, чем в знаменателе.

Чтобы перевести обыкновенную дробь со знаменателями вида: $$10, 100, 1000$$ и т.д. в десятичную, необходимо определить количество цифр в числителе и количество нулей в знаменателе, например, у дроби $$\frac{12}{1000}$$ (ноль целых $$12$$ тысячных) $$2$$ цифры в числителе и $$3$$ ноля в знаменателе. $$3 - 2 = 1$$, следовательно, необходимо записать один ноль после запятой $$\frac{12}{1000} = 0,012$$.

Приведем еще пример, дробь $$\frac{3}{1000}$$. У этой дроби в числителе $$1$$ цифра, $$3$$ ноля в знаменателе. $$3 - 1 = 2$$, следовательно, необходимо записать два ноля после запятой: $$\frac{3}{1000} = 0,003$$.

И последний пример, дробь $$\frac{12}{100}$$. У данной дроби в числителе $$2$$ цифры и в знаменателе $$2$$ ноля. $$2 - 2 = 0$$, следовательно, не нужно добавлять ноль после запятой $$\frac{12}{100} = 0,12$$.

В данном случае, необходимо привести такую дробь к одному из знаменателей вида $$10, 100, 1000$$ и т.д.

Если мы попытаемся разложить числа $$10, 100, 1000$$ и т.д. на простые множители, то увидим, что при разложении всегда получается одно и тоже количество двоек и пятерок, например, разложим число $$10$$ на простые множители $$10 = 2 ⋅ 5$$, далее разложим число $$100$$ на простые множители, $$100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5$$. В общем если раскладывать на множители любое число типа $$1$$ и любо количество нулей, то всегда в разложении будем видеть числа $$2$$ и $$5$$. Так как $$10 = 2 ⋅ 5$$, тогда $$100 = 10 ⋅ 10 = 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5$$

Для примера рассмотрим несократимую дробь $$\frac{3}{16}$$. Разложим $$16$$ на простые множители $$16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2$$.

Из рассуждений выше, мы знаем, что при разложении любого числа типа: $$10, 100, 1000$$ и т.д. на простые множители всегда будет получаться произведение двоек и пятерок и число двоек и пятерок будет одинаковым. Посмотрим на разложение числа $$16$$. Мы видим, что в разложении получается $$4$$ двойки, значит числитель и знаменатель дроби $$\frac{3}{16}$$ нужно домножить на 4 пятерки.

$$\frac{3}{16} = \frac{3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5}{2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5} = $$$$\frac{1875}{10000} = 0,1875$$.

Любую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби, но не всякую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной!

Запомните правило: Несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной, если знаменатель такой дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от $$2$$ и $$5$$.

Из данного выше правила можно сделать вывод: прежде чем приводить обыкновенную дробь к десятичной необходимо убедится, что дробь несократима (поможет калькулятор сокращения дробей). Далее разложить знаменатель этой дроби на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители) и убедится, что в разложении нет чисел отличных от $$2$$ и $$5$$.